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SymPy - Python による記号数学

概要

SymPy は、数値近似ではなく数学記号を使って厳密な計算を行う Python の記号数学ライブラリです。このスキルでは、SymPy を使った記号代数、微積分、線形代数、方程式の解法、物理計算、コード生成について、包括的なガイダンスを提供します。

このスキルを使用する場面

次のような場合にこのスキルを使用してください：

• 方程式を記号的に解く場合（代数方程式、微分方程式、連立方程式）
• 微積分の演算を行う場合（導関数、積分、極限、級数）
• 代数式を操作、簡約する場合
• 行列や線形代数を記号的に扱う場合
• 物理計算を行う場合（力学、量子力学、ベクトル解析）
• 整数論の計算を行う場合（素数、因数分解、剰余演算）
• 幾何計算を行う場合（2D／3D 幾何、解析幾何）
• 数学式を実行可能なコードに変換する場合（Python、C、Fortran）
• LaTeX やその他の形式で数式を出力する場合
• 厳密な数学的結果が必要な場合（例：1.414... ではなく sqrt(2)）

対象外

シナリオ	代わりに使用
統計モデルをデータに当てはめる、または仮説検定を実行する	alterlab-statistical-analysis
数値的な多目的最適化または制約付き最適化（パレートフロント、NSGA-II）	alterlab-pymoo
開放量子系を数値シミュレーションする（マスター方程式、リンドブラッドダイナミクス）	alterlab-qutip
単位を考慮した天文学計算（座標、宇宙論、FITS）	alterlab-astropy

主な機能

1. 記号計算の基本

記号と式の作成：

from sympy import symbols, Symbol
x, y, z = symbols('x y z')
expr = x**2 + 2*x + 1

# With assumptions
x = symbols('x', real=True, positive=True)
n = symbols('n', integer=True)

簡約と操作：

from sympy import simplify, expand, factor, cancel
simplify(sin(x)**2 + cos(x)**2)  # Returns 1
expand((x + 1)**3)  # x**3 + 3*x**2 + 3*x + 1
factor(x**2 - 1)    # (x - 1)*(x + 1)

基本事項の詳細： references/core-capabilities.md を参照してください。

2. 微積分

導関数：

from sympy import diff
diff(x**2, x)        # 2*x
diff(x**4, x, 3)     # 24*x (third derivative)
diff(x**2*y**3, x, y)  # 6*x*y**2 (partial derivatives)

積分：

from sympy import integrate, oo
integrate(x**2, x)              # x**3/3 (indefinite)
integrate(x**2, (x, 0, 1))      # 1/3 (definite)
integrate(exp(-x), (x, 0, oo))  # 1 (improper)

極限と級数：

from sympy import limit, series
limit(sin(x)/x, x, 0)  # 1
series(exp(x), x, 0, 6)  # 1 + x + x**2/2 + x**3/6 + x**4/24 + x**5/120 + O(x**6)

微積分演算の詳細： references/core-capabilities.md を参照してください。

3. 方程式を解く

代数方程式：

from sympy import solveset, solve, Eq
solveset(x**2 - 4, x)  # {-2, 2}
solve(Eq(x**2, 4), x)  # [-2, 2]

連立方程式：

from sympy import linsolve, nonlinsolve
linsolve([x + y - 2, x - y], x, y)  # {(1, 1)} (linear)
nonlinsolve([x**2 + y - 2, x + y**2 - 3], x, y)  # (nonlinear)

微分方程式：

from sympy import Function, dsolve, Derivative
f = symbols('f', cls=Function)
dsolve(Derivative(f(x), x) - f(x), f(x))  # Eq(f(x), C1*exp(x))

解法の詳細： references/core-capabilities.md を参照してください。

4. 行列と線形代数

行列の作成と演算：

from sympy import Matrix, eye, zeros
M = Matrix([[1, 2], [3, 4]])
M_inv = M**-1  # Inverse
M.det()        # Determinant
M.T            # Transpose

固有値と固有ベクトル：

eigenvals = M.eigenvals()  # {eigenvalue: multiplicity}
eigenvects = M.eigenvects()  # [(eigenval, mult, [eigenvectors])]
P, D = M.diagonalize()  # M = P*D*P^-1

線形方程式の解法：

A = Matrix([[1, 2], [3, 4]])
b = Matrix([5, 6])
x = A.solve(b)  # Solve Ax = b

線形代数の詳細： references/matrices-linear-algebra.md を参照してください。

5. 物理と力学

古典力学：

from sympy.physics.mechanics import dynamicsymbols, LagrangesMethod
from sympy import symbols

# Define system
q = dynamicsymbols('q')
m, g, l = symbols('m g l')

# Lagrangian (T - V)
L = m*(l*q.diff())**2/2 - m*g*l*(1 - cos(q))

# Apply Lagrange's method
LM = LagrangesMethod(L, [q])

ベクトル解析：

from sympy.physics.vector import ReferenceFrame, dot, cross
N = ReferenceFrame('N')
v1 = 3*N.x + 4*N.y
v2 = 1*N.x + 2*N.z
dot(v1, v2)  # Dot product
cross(v1, v2)  # Cross product

量子力学：

from sympy.physics.quantum import Ket, Operator, Commutator
psi = Ket('psi')
A, B = Operator('A'), Operator('B')
comm = Commutator(A, B).doit()  # A*B - B*A

物理機能の詳細： references/physics-mechanics.md を参照してください。

6. 高度な数学

このスキルでは、次の分野を包括的にサポートしています。

• 幾何学： 2D／3D 解析幾何、点、直線、円、多角形、変換
• 整数論： 素数、因数分解、GCD／LCM、剰余演算、ディオファントス方程式
• 組合せ論： 順列、組み合わせ、分割、群論
• 論理と集合： ブール論理、集合論、有限集合と無限集合
• 統計学： 確率分布、確率変数、期待値、分散
• 特殊関数： ガンマ関数、ベッセル関数、直交多項式、超幾何関数
• 多項式： 多項式代数、根、因数分解、グレブナー基底

高度なトピックの詳細： references/advanced-topics.md を参照してください。

7. コード生成と出力

実行可能な関数に変換：

from sympy import lambdify
import numpy as np

expr = x**2 + 2*x + 1
f = lambdify(x, expr, 'numpy')  # Create NumPy function
x_vals = np.linspace(0, 10, 100)
y_vals = f(x_vals)  # Fast numerical evaluation

C／Fortran コードを生成：

from sympy.utilities.codegen import codegen
[(c_name, c_code), (h_name, h_header)] = codegen(
    ('my_func', expr), 'C'
)

LaTeX 出力：

from sympy import latex
latex_str = latex(expr)  # Convert to LaTeX for documents

コード生成の詳細： references/code-generation-printing.md を参照してください。

SymPy を使う際のベストプラクティス

1. 最初に記号を定義する

SymPy では、symbols()（または Symbol）で作成した名前のみが数学変数として扱われます。未定義の名前を使うと NameError が発生します。

from sympy import symbols
x, y, z = symbols('x y z')
# Now x, y, z can be used in expressions

2. 仮定を使って簡約の精度を高める

x = symbols('x', positive=True, real=True)
sqrt(x**2)  # Returns x (not Abs(x)) due to positive assumption

一般的な仮定：real、positive、negative、integer、rational、complex、even、odd

3. 厳密な演算を使用する

from sympy import Rational, S
# Correct (exact):
expr = Rational(1, 2) * x
expr = S(1)/2 * x

# Incorrect (floating-point):
expr = 0.5 * x  # Creates approximate value

4. 必要に応じて数値評価する

from sympy import pi, sqrt
result = sqrt(8) + pi
result.evalf()    # 5.96371554103586
result.evalf(50)  # 50 digits of precision

5. パフォーマンス向上のためにNumPyに変換する

# Slow for many evaluations:
for x_val in range(1000):
    result = expr.subs(x, x_val).evalf()

# Fast:
f = lambdify(x, expr, 'numpy')
results = f(np.arange(1000))

6. 適切なソルバーを使用する

• solveset：代数方程式（第一選択）
• linsolve：線形方程式系
• nonlinsolve：非線形方程式系
• dsolve：微分方程式
• solve：汎用（レガシーですが、柔軟です）

リファレンスファイルの構成

このスキルでは、機能ごとにモジュール化されたリファレンスファイルを使用します。

1. core-capabilities.md：シンボル、代数、微積分、簡約、方程式の解法

   • 読み込むタイミング：基本的な記号計算、微積分、または方程式を解く場合

2. matrices-linear-algebra.md：行列演算、固有値、線形方程式系

   • 読み込むタイミング：行列や線形代数の問題を扱う場合

3. physics-mechanics.md：古典力学、量子力学、ベクトル、単位

   • 読み込むタイミング：物理計算や力学の問題を扱う場合

4. advanced-topics.md：幾何学、数論、組合せ論、論理、統計

   • 読み込むタイミング：基本的な代数や微積分を超える高度な数学のトピックを扱う場合

5. code-generation-printing.md：lambdify、コード生成、LaTeX出力、表示

   • 読み込むタイミング：式をコードに変換したり、整形済みの出力を生成したりする場合

よくあるユースケースのパターン

パターン1：解いて検証する

from sympy import symbols, solve, simplify
x = symbols('x')

# Solve equation
equation = x**2 - 5*x + 6
solutions = solve(equation, x)  # [2, 3]

# Verify solutions
for sol in solutions:
    result = simplify(equation.subs(x, sol))
    assert result == 0

パターン2：記号計算から数値計算へのパイプライン

# 1. Define symbolic problem
x, y = symbols('x y')
expr = sin(x) + cos(y)

# 2. Manipulate symbolically
simplified = simplify(expr)
derivative = diff(simplified, x)

# 3. Convert to numerical function
f = lambdify((x, y), derivative, 'numpy')

# 4. Evaluate numerically
results = f(x_data, y_data)

パターン3：数学的な結果を記録する

# Compute result symbolically
integral_expr = Integral(x**2, (x, 0, 1))
result = integral_expr.doit()

# Generate documentation
print(f"LaTeX: {latex(integral_expr)} = {latex(result)}")
print(f"Pretty: {pretty(integral_expr)} = {pretty(result)}")
print(f"Numerical: {result.evalf()}")

科学計算ワークフローとの統合

lambdifyは、記号計算ライブラリSymPyから数値計算スタックへの橋渡しとなります。まず厳密に導出・簡約し、その後、NumPy、Matplotlib、SciPy向けの高速な呼び出し可能オブジェクトにコンパイルします。NumPyでプロットする場合は、ベストプラクティスの#5にあるパターン（np.linspaceに対するlambdify(x, expr, 'numpy')）を使用します。あまり知られていない一般的なケースとして、記号方程式を数値的な求根関数に渡す方法があります。

from scipy.optimize import fsolve
from sympy import symbols, lambdify

# Derive symbolically, then solve numerically where no closed form exists
x = symbols('x')
f = lambdify(x, x**3 - 2*x - 5, 'numpy')
solution = fsolve(f, 2)  # initial guess 2

クイックリファレンス：よく使う関数

# Symbols
from sympy import symbols, Symbol
x, y = symbols('x y')

# Basic operations
from sympy import simplify, expand, factor, collect, cancel
from sympy import sqrt, exp, log, sin, cos, tan, pi, E, I, oo

# Calculus
from sympy import diff, integrate, limit, series, Derivative, Integral

# Solving
from sympy import solve, solveset, linsolve, nonlinsolve, dsolve

# Matrices
from sympy import Matrix, eye, zeros, ones, diag

# Logic and sets
from sympy import And, Or, Not, Implies, FiniteSet, Interval, Union

# Output
from sympy import latex, pprint, lambdify, init_printing

# Utilities (numerical eval: N(expr) or expr.evalf())
from sympy import N, nsimplify, simplify, S, Rational

よくある問題のトラブルシューティング

1. 「NameError: name 'x' is not defined」

   • 解決策：使用する前に、必ずsymbols()でシンボルを定義してください

2. 予期しない数値結果

   • 問題：Rational(1, 2)ではなく、0.5のような浮動小数点数を使用している
   • 解決策：厳密な演算にはRational()またはS()を使用してください

3. ループ内でのパフォーマンス低下

   • 問題：subs()とevalf()を繰り返し使用している
   • 解決策：lambdify()を使用して高速な数値関数を作成してください

4. 「この方程式を解けません」

   • 別のソルバーを試してください：solve、solveset、nsolve（数値計算）
   • 方程式が代数的に解けるか確認してください
   • 閉形式解が存在しない場合は、数値計算の手法を使用してください

5. 簡約が期待どおりに機能しない

   • 別の簡約関数を試してください：simplify、factor、expand、trigsimp
   • シンボルに仮定を追加してください（例：positive=True）
   • powsimp、expand_log、logcombineは、仮定を無視するためにforce=Trueを受け付けます（simplifyにはforceオプションがありません）

追加リソース

• 公式ドキュメント：https://docs.sympy.org/
• チュートリアル：https://docs.sympy.org/latest/tutorials/intro-tutorial/index.html
• APIリファレンス：https://docs.sympy.org/latest/reference/index.html
• 例：https://github.com/sympy/sympy/tree/master/doc/src/modules

AlterLab Academic Skillsスイートの一部です。