fixed-income-sovereign

債券 — ソブリン

対象範囲：米国債および金利分析です。ソブリンの信用リスク（新興国債務、デフォルト分析、カントリーリスクスプレッド）は、このスキルの対象外です。

基本概念

債券価格

債券価格は、将来のキャッシュフローの現在価値です。

P = sum(t=1 to n) [C / (1+y)^t] + F / (1+y)^n

ここで、C = 1期間あたりのクーポン支払額、y = 期間あたりの最終利回り、F = 額面金額、n = 期間の総数です。半年払いの債券では、年間クーポンを2で割り、年間利回りも2で割り、年数を2倍してnを求めます。

最終利回り（YTM）

債券価格の方程式を満たす割引率yです。債券の市場価格とすべての将来キャッシュフローの現在価値を等しくする単一の利率です。クーポンをYTMの利率で再投資することを前提とします。債券の標準的な利回り指標です。

直接利回り

直接利回り = 年間クーポン / 価格。キャピタルゲイン／ロスと貨幣の時間価値を考慮しない、単純な収益指標です。

イールドカーブ：スポットレート、フォワードレート、パーカーブ

スポットカーブは、各満期のゼロクーポン利回りを示します。パーカーブは、債券価格が額面となるクーポンレートを示します。フォワードレートは、スポットレートから導かれる将来のインプライドレートです。これら3つのカーブは同等の情報を含み、相互に導出できます。

スポットカーブのブートストラップ

最短満期から始めて順に進め、パー利回りからスポット（ゼロクーポン）レートを抽出します。各段階では、すでに導出したスポットレートを使って次のスポットレートを求めます。

フォワードレート

スポットレートから導出される、2つの将来時点の間のインプライドレートです。

f(t1,t2) = [(1+s_t2)^t2 / (1+s_t1)^t1]^(1/(t2-t1)) - 1

ここで、s_t1とs_t2は、満期t1およびt2のスポットレートです。

デュレーション（マコーレー）

キャッシュフローを受け取るまでの加重平均期間です。ウェイトには、各キャッシュフローの現在価値を債券価格に対する比率として用います。

D_mac = (1/P) × sum(t × CF_t / (1+y)^t)

年単位で測定します。満期が長いほど、クーポンが低いほど、利回りが低いほど、デュレーションは長くなります。

修正デュレーション

D_mod = D_mac / (1 + y/m)

ここで、m = 1年あたりのクーポン支払回数です。利回りが1パーセントポイント変化した場合のおおよその価格変化率を示します。dP/P ≈ -D_mod × dy。

ドルデュレーション（DV01）

利回りが1ベーシスポイント変化した場合の価格のドル建て変化額です。

DV01 ≈ -D_mod × P × 0.0001

ヘッジに使われます。DV01エクスポージャーを一致させることで、平行な金利変動からポートフォリオを免疫化します。

コンベクシティ

価格と利回りの関係の曲率（二階微分）を測定します。

C = (1/P) × sum(t(t+1) × CF_t / (1+y)^(t+2))

オプションのない債券では、コンベクシティは常に正です。デュレーションだけでは、損失を過大評価し、利益を過小評価します。

価格変化の近似

ΔP/P ≈ -D_mod × Δy + 0.5 × Convexity × (Δy)²

コンベクシティ項は補正項であり、利回りが大きく変化した場合に重要になります。

TIPS（米国財務省インフレ連動証券）

元本はCPIに連動して調整されます。クーポンレートは固定ですが、インフレ調整後の元本に適用されます。実質利回り = TIPS利回りです。ブレークイーブン・インフレ率 = 米国債の名目利回り - TIPSの実質利回りです。TIPSにはデフレ時の下限があり、満期時の額面価値が保護されます。

キーレートデュレーション

イールドカーブ上の特定のポイント（例：2年、5年、10年、30年）に対する感応度です。スティープ化、フラット化、バタフライ変動など、イールドカーブの非平行な変化を分析できます。キーレートデュレーションの合計は実効デュレーションと等しくなります。

主な公式

公式	式	用途
債券価格	P = sum C/(1+y)^t + F/(1+y)^n	利回りから価格を算出
直接利回り	年間クーポン / 価格	シンプルな収益指標
フォワードレート	f(t1,t2) = [(1+s_t2)^t2 / (1+s_t1)^t1]^(1/(t2-t1)) - 1	将来の暗黙的な金利
マコーレー・デュレーション	(1/P) × sum(t × CF_t / (1+y)^t)	キャッシュフローまでの加重平均期間
修正デュレーション	D_mac / (1 + y/m)	利回りに対する価格感応度（％）
DV01	D_mod × P × 0.0001	1bpあたりの価格変動額
コンベクシティ	(1/P) × sum(t(t+1) × CF_t / (1+y)^(t+2))	価格と利回りの曲線の湾曲度
価格変動	ΔP/P ≈ -D_mod×Δy + 0.5×Convexity×(Δy)²	金利変動による価格への影響を推定

計算例

例1：年利4％、半年払いクーポン、残存期間5年の債券をYTM 5％で価格評価する

与件： 額面 = $1,000、クーポン = 4％（半年払い）、YTM = 5％、満期 = 5年 計算対象： 債券価格 解答： 半年ごとのクーポン = $1,000 × 4％ / 2 = $20 半年ごとの利回り = 5％ / 2 = 2.5％ 期間数 = 5 × 2 = 10 P = $20 × [(1 - (1.025)^(-10)) / 0.025] + $1,000 / (1.025)^10 P = $20 × 8.7521 + $1,000 × 0.7812 P = $175.04 + $781.20 = $956.24

クーポンレート（4％）が市場利回り（5％）を下回るため、この債券は額面割れ（$956.24 < $1,000）で取引されています。

例2：修正デュレーションと価格変動の推定

与件： マコーレー・デュレーション = 4.5年、YTM = 5％（半年払い）、価格 = $956.24、コンベクシティ = 22.5の債券 計算対象： 金利が+50bp上昇した場合の価格変動の推定 解答： D_mod = 4.5 / (1 + 0.05/2) = 4.5 / 1.025 = 4.39年 ΔP/P ≈ -4.39 × 0.005 + 0.5 × 22.5 × (0.005)² ΔP/P ≈ -0.02195 + 0.000281 = -0.02167 = -2.167% ΔP ≈ -2.167% × $956.24 = -$20.72 新価格 ≈ $956.24 - $20.72 = $935.52

デュレーションのみでは-2.195％と推定されます。コンベクシティによる補正により、推定損失は約3bp小さくなります。

よくある注意点

• マコーレー・デュレーションと修正デュレーションの混同 — マコーレー・デュレーションは年単位で、修正デュレーションは価格感応度を示します
• 利回りの大幅な変動でコンベクシティを無視すること — デュレーションのみでは損失を過大評価し、利益を過小評価します
• 日数計算規則（30/360とactual/actual） — 米国債ではactual/actual、社債では30/360を使用します
• クリーン価格とダーティ価格（経過利息）の違い — 表示価格には経過利息が含まれませんが、決済時にはその支払いが必要です

関連項目

• time-value-of-money（コアプラグイン）：割引と現在価値の基本
• fixed-income-corporate（ウェルスマネジメントプラグイン）：国債カーブに対する信用スプレッド
• fixed-income-municipal（ウェルスマネジメントプラグイン）：地方債と米国債の利回り比率
• asset-allocation（ウェルスマネジメントプラグイン）：ポートフォリオ構築における資産クラスとしての債券

スクリプトの実行

uv run scripts/fixed_income_sovereign.py            # run the demo (uses PEP 723 inline deps)
uv run scripts/fixed_income_sovereign.py --verify   # check demo outputs against the worked examples (exit 1 on mismatch)
python3 scripts/fixed_income_sovereign.py            # alternative (requires: pip install numpy scipy)

デモでは上記の計算が出力され、値はこのスキルの計算例と一致します。クラスと関数の一覧を確認するには --help を実行してください。プログラムから使用する場合は、スクリプトを実行するのではなくモジュールをインポートしてください。デモは python fixed_income_sovereign.py の場合にのみ実行されます。