general-equilibrium-model-builder

一般均衡モデルビルダー

目的

このスキルは、経済学者が**ワルラス的一般均衡（GE）**モデルを構築、分析し、数値的に解くのを支援します。均衡価格と配分を求めるための、理論的基礎（存在、一意性、厚生定理）とJuliaによる計算実装の両方を扱います。

現在の対象範囲：生産のない純粋交換経済です。今後のバージョンでは、生産経済、不確実性を伴うアロー＝ドブリュー経済、動学モデルに対応する予定です。

使用する場面

• 理論の構築：論文向けに純粋交換の一般均衡モデルを定式化する場合
• 教育：ミクロ経済学の理論講義向けに例を作成する場合
• 計算：均衡価格と配分を数値的に求める場合
• 厚生分析：パレート効率性と社会厚生を評価する場合
• 比較静学：パラメーターによる均衡の変化を分析する場合

手順

ステップ 1：経済環境を把握する

モデルを生成する前に、ユーザーに以下を尋ねます。

1. 財の数（$L$）：経済にはいくつの財がありますか？
2. 消費者の数（$I$）：エージェントは何人いますか？
3. 選好：どのような効用関数ですか？（コブ＝ダグラス、CES、レオンチェフ、準線形）
4. 初期保有：各エージェントの初期保有ベクトルはどのようなものですか？
5. 出力形式：理論の導出、Juliaコード、または両方のどれを希望しますか？

ステップ 2：理論的枠組みを設定する

純粋交換経済 $\mathcal{E}$ は、次のように特徴づけられます。

$$\mathcal{E} = \left{ (u^i, \omega^i)_{i=1}^{I} \right}$$

ここで：

• $u^i: \mathbb{R}^L_+ \to \mathbb{R}$ は消費者 $i$ の効用関数です
• $\omega^i \in \mathbb{R}^L_+$ は消費者 $i$ の初期保有ベクトルです
• $L$ は財の数です
• $I$ は消費者の数です

消費者の問題：価格 $p \in \mathbb{R}^L_{++}$ が与えられたとき、消費者 $i$ は次の問題を解きます。

$$\max_{x^i \in \mathbb{R}^L_+} u^i(x^i) \quad \text{s.t.} \quad p \cdot x^i \leq p \cdot \omega^i$$

この解から、マーシャル需要 $x^i(p, p \cdot \omega^i)$ が得られます。

ステップ 3：ワルラス均衡を定義する

定義（ワルラス均衡）：配分 $(x^{*1}, \ldots, x^{I})$ と価格ベクトル $p^ \in \mathbb{R}^L_{++}$ が、以下を満たすとき、ワルラス均衡を構成します。

1. 効用最大化：各 $i$ について、$x^{i}$ は価格 $p^$ のもとで消費者 $i$ の問題を解きます
2. 市場清算：$\sum_{i=1}^{I} x^{*i} = \sum_{i=1}^{I} \omega^i$

同じことを、超過需要関数 $z(p) = \sum_{i=1}^{I} [x^i(p) - \omega^i]$ を用いて表すと、$z(p^*) = 0$ となります。

ステップ 4：主要な理論的結果を示す

必要に応じて、以下の定理を含めます。

定理（ワルラスの法則）：任意の価格ベクトル $p$ について： $$p \cdot z(p) = 0$$

解釈：超過需要の価値は常にゼロです（予算制約は等号で成立します）。

定理（厚生経済学の第一基本定理）：すべてのワルラス均衡配分はパレート効率的です。

定理（厚生経済学の第二基本定理）：凸性の仮定のもとでは、任意のパレート効率的配分を、適切な一括移転によってワルラス均衡として実現できます。

定理（存在：Debreu、1959年）：標準的な仮定（選好の連続性、狭義凸性、狭義単調性、厳密に正の初期保有）のもとで、ワルラス均衡が存在します。

ステップ 5：計算用のJuliaコードを生成する

次の構成でJuliaを使用します。

# ============================================
# General Equilibrium Solver in Julia
# Pure Exchange Economy
# ============================================

using LinearAlgebra
using NLsolve
using Plots

# Define the economy structure
struct PureExchangeEconomy
    n_goods::Int              # Number of goods (L)
    n_consumers::Int          # Number of consumers (I)
    endowments::Matrix{Float64}  # I × L matrix of endowments
    utility_params::Vector{Any}  # Parameters for utility functions
    utility_type::Symbol      # :cobb_douglas, :ces, :leontief
end

# Cobb-Douglas utility: u(x) = ∏ x_l^α_l
function utility_cobb_douglas(x, α)
    return prod(x .^ α)
end

# Marshallian demand for Cobb-Douglas preferences
function demand_cobb_douglas(p, wealth, α)
    # x_l = (α_l / sum(α)) * (wealth / p_l)
    α_normalized = α / sum(α)
    return α_normalized .* wealth ./ p
end

# Excess demand function
function excess_demand(p, economy::PureExchangeEconomy)
    z = zeros(economy.n_goods)
    
    for i in 1:economy.n_consumers
        ω_i = economy.endowments[i, :]
        wealth_i = dot(p, ω_i)
        
        if economy.utility_type == :cobb_douglas
            α_i = economy.utility_params[i]
            x_i = demand_cobb_douglas(p, wealth_i, α_i)
        else
            error("Unsupported utility_type: $(economy.utility_type). Only :cobb_douglas is currently implemented.")
        end
        
        z += x_i - ω_i
    end
    
    return z
end

# Solve for equilibrium prices (normalize p_1 = 1)
# Uses log-price parameterization to ensure prices remain strictly positive
function solve_equilibrium(economy::PureExchangeEconomy)
    # Initial guess in log-space (log of ones = zeros)
    p0 = zeros(economy.n_goods - 1)
    
    # Excess demand for goods 2 to L (Walras' Law implies good 1 clears)
    # Reparameterize using log-prices: x = log(p_rest), so p_rest = exp(x)
    function excess_demand_reduced!(F, x)
        p_rest = exp.(x)  # Exponentiate to get positive prices
        p = vcat(1.0, p_rest)  # Numeraire p_1 = 1
        z = excess_demand(p, economy)
        F .= z[2:end]
    end
    
    # Solve z(p) = 0 in log-space
    result = nlsolve(excess_demand_reduced!, p0, autodiff=:forward)
    
    if converged(result)
        p_rest_star = exp.(result.zero)  # Convert back from log-space
        p_star = vcat(1.0, p_rest_star)
        return p_star
    else
        error("Equilibrium solver did not converge")
    end
end

# Compute equilibrium allocations
function equilibrium_allocations(p_star, economy::PureExchangeEconomy)
    allocations = zeros(economy.n_consumers, economy.n_goods)
    
    for i in 1:economy.n_consumers
        ω_i = economy.endowments[i, :]
        wealth_i = dot(p_star, ω_i)
        
        if economy.utility_type == :cobb_douglas
            α_i = economy.utility_params[i]
            allocations[i, :] = demand_cobb_douglas(p_star, wealth_i, α_i)
        else
            throw(ArgumentError("Unsupported utility_type: $(economy.utility_type) in equilibrium_allocations. Only :cobb_douglas is currently implemented."))
        end
    end
    
    return allocations
end

# Check Pareto efficiency via MRS equality
function check_pareto_efficiency(allocations, economy::PureExchangeEconomy)
    # Currently only supports 2-good economies
    if economy.n_goods != 2
        throw(ArgumentError("check_pareto_efficiency currently only supports 2-good economies. Got economy.n_goods = $(economy.n_goods)."))
    end
    
    if economy.utility_type == :cobb_douglas
        # MRS_{12} = (α_1/α_2) * (x_2/x_1) should be equal for all consumers
        epsilon = 1e-12  # Small threshold for near-zero detection
        mrs_values = []
        
        for i in 1:economy.n_consumers
            α_i = economy.utility_params[i]
            x_i = allocations[i, :]
            
            # Guard against division by zero: check both x_i[1] and α_i[2]
            if abs(x_i[1]) < epsilon || abs(α_i[2]) < epsilon
                # Handle corner case: set sentinel value for zero/near-zero consumption
                push!(mrs_values, Inf)
            else
                mrs_i = (α_i[1] / α_i[2]) * (x_i[2] / x_i[1])
                push!(mrs_values, mrs_i)
            end
        end
        
        return mrs_values
    else
        throw(ArgumentError("Unsupported utility type: $(economy.utility_type) in check_pareto_efficiency. Only :cobb_douglas is currently implemented."))
    end
end

ステップ 6：完全な例を示す

# ============================================
# Example: 2×2 Pure Exchange Economy
# ============================================

# Two consumers, two goods
# Consumer 1: u(x,y) = x^0.6 * y^0.4, endowment (4, 1)
# Consumer 2: u(x,y) = x^0.3 * y^0.7, endowment (1, 4)

economy = PureExchangeEconomy(
    2,                           # 2 goods
    2,                           # 2 consumers
    [4.0 1.0; 1.0 4.0],         # Endowment matrix
    [[0.6, 0.4], [0.3, 0.7]],   # Cobb-Douglas parameters
    :cobb_douglas
)

# Solve for equilibrium
p_star = solve_equilibrium(economy)
println("Equilibrium prices: p = ", p_star)

# Compute allocations
x_star = equilibrium_allocations(p_star, economy)
println("Consumer 1 allocation: ", x_star[1, :])
println("Consumer 2 allocation: ", x_star[2, :])

# Verify market clearing
total_endowment = sum(economy.endowments, dims=1)
total_allocation = sum(x_star, dims=1)
println("Market clearing check: ", isapprox(total_endowment, total_allocation))

# Check Pareto efficiency (MRS equality)
mrs = check_pareto_efficiency(x_star, economy)
println("MRS values (should be equal): ", mrs)

ステップ 7：エッジワース・ボックスで可視化する

# ============================================
# Edgeworth Box Visualization
# ============================================

function plot_edgeworth_box(economy::PureExchangeEconomy, p_star, x_star)
    # Total endowment defines box dimensions
    ω_total = vec(sum(economy.endowments, dims=1))
    
    # Create plot
    plt = plot(
        xlim=(0, ω_total[1]),
        ylim=(0, ω_total[2]),
        xlabel="Good 1",
        ylabel="Good 2",
        title="Edgeworth Box",
        legend=:topright,
        aspect_ratio=:equal
    )
    
    # Plot endowment point
    ω1 = economy.endowments[1, :]
    scatter!([ω1[1]], [ω1[2]], label="Endowment", markersize=8, color=:red)
    
    # Plot equilibrium allocation
    scatter!([x_star[1, 1]], [x_star[1, 2]], label="Equilibrium", markersize=8, color=:green)
    
    # Plot budget line through endowment
    # p_1 * x_1 + p_2 * x_2 = p_1 * ω_1 + p_2 * ω_2
    wealth1 = dot(p_star, ω1)
    x1_range = range(0, ω_total[1], length=100)
    x2_budget = (wealth1 .- p_star[1] .* x1_range) ./ p_star[2]
    plot!(x1_range, x2_budget, label="Budget line", color=:blue, linewidth=2)
    
    # Plot contract curve (locus of Pareto efficient allocations)
    # For Cobb-Douglas, contract curve: x_2^1 / x_1^1 = (α_2^1/α_1^1) / (α_2^2/α_1^2) * (ω_2 - x_2^1) / (ω_1 - x_1^1)
    
    return plt
end

# Generate the plot
plt = plot_edgeworth_box(economy, p_star, x_star)
savefig(plt, "edgeworth_box.png")

プロンプトの例

ユーザーは、次のようなプロンプトでこのスキルを呼び出すことができます。

• 「CES選好を持つ、財が2つ、消費者が3人の純粋交換経済を設定してください」
• 「コブ＝ダグラス経済のワルラス均衡条件を導出してください」
• 「私の交換経済の均衡価格を求めるJuliaコードを書いてください」
• 「純粋交換経済について、厚生経済学の第一基本定理を証明してください」
• 「契約曲線と均衡を示すエッジワース・ボックスをプロットしてください」
• 「比較静学を計算してください。初期保有が変化すると、均衡はどのように変わりますか？」

要件

ソフトウェア

• Julia 1.9+

パッケージ

using Pkg
Pkg.add(["NLsolve", "LinearAlgebra", "Plots", "ForwardDiff"])

パッケージ	目的
NLsolve	超過需要 = 0 を解く非線形方程式ソルバー
LinearAlgebra	ベクトル／行列演算
Plots	可視化（エッジワース・ボックスなど）
ForwardDiff	ヤコビアンの自動微分

数学的背景

存在を保証する仮定

均衡の存在を保証する標準的な仮定：

1. 連続性：各 $u^i$ は連続です
2. 強単調性：$x \gg y \Rightarrow u^i(x) > u^i(y)$
3. 狭義凸性：$u^i$ は狭義準凹です
4. 正の初期保有量：すべての $i$ について $\omega^i \gg 0$

超過需要の性質

標準的な仮定の下で、$z(p)$ は次の性質を満たします：

1. 連続性：$z$ は連続です
2. 0 次同次性：すべての $\lambda > 0$ について $z(\lambda p) = z(p)$
3. ワルラスの法則：$p \cdot z(p) = 0$
4. 境界での挙動：$p_l \to 0$ のとき、$z_l(p) \to +\infty$

数値解法の方針

1. 価格を正規化する：$p_1 = 1$（ニュメレール）とします
2. 次元を削減する：$z_2(p) = \cdots = z_L(p) = 0$ を解きます（ワルラスの法則により $z_1 = 0$ となります）
3. ニュートン法を使用する：ヤコビアンの自動微分を使って NLsolve.jl を実行します
4. 境界に対処する：反復中は $p_l > 0$ を保ちます

ベストプラクティス

1. 解を求めた後は必ず市場清算を検証してください
2. ワルラスの法則が数値的に成り立つことを確認してください（$p \cdot z \approx 0$）
3. 消費者間の MRS の等価性を確認して、パレート効率性を検証してください
4. ソルバーが収束しない場合は、複数の初期推定値を使用してください
5. 価格を正規化して、不定性を避けてください（0 次同次性）

よくある落とし穴

• ❌ 価格はスカラー倍までしか定まらないことを忘れる（正規化が必要です）
• ❌ 隅点解（ある財の消費がゼロになる解）を確認しない
• ❌ 境界付近での数値精度の問題を無視する
• ❌ 検証せずに一意性を仮定する（複数の均衡が存在する可能性があります）
• ❌ マーシャル需要（非補償需要）とヒックス需要（補償需要）を混同する

拡張（今後のバージョン）

• 生産経済：利潤最大化を行う企業
• アロー＝ドブリュー証券：条件付き請求権と不確実性
• 世代重複（OLG）：世代が重複する動学的一般均衡
• 計算可能な一般均衡（CGE）：政策分析向けの較正済みモデル
• 不完備市場：すべての不確実な事象について取引できない場合

参考文献

教科書

• Mas-Colell, Whinston, and Green (1995). Microeconomic Theory. Oxford University Press. 第15～17章。
• Debreu, G. (1959). Theory of Value. Yale University Press.
• Varian, H. (1992). Microeconomic Analysis. 第3版。第17～18章。

計算リソース

• QuantEcon の Julia 講義：https://julia.quantecon.org/
• Judd, K. (1998). Numerical Methods in Economics. MIT Press.

主要論文

• Arrow, K. J., & Debreu, G. (1954). 競争経済における均衡の存在。Econometrica, 22(3), 265-290.
• Scarf, H. (1967). 連続写像の不動点の近似。SIAM Journal on Applied Mathematics, 15(5), 1328-1343.

変更履歴

v1.0.0

• 初回リリース：コブ＝ダグラス型選好を持つ純粋交換経済
• NLsolve を使用した Julia 実装
• エッジワース・ボックスの可視化
• 理論的枠組みと厚生定理