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インパーマネントロス — 計算、モデリング、損益分岐点分析

インパーマネントロス（IL）は、トークンを単に保有する場合と比べた、自動マーケットメーカー（AMM）への流動性提供にかかるコストです。トークンを流動性プールに預けると、価格の変動に応じてAMMがポジションを継続的にリバランスします。このリバランスは常に不利に働きます。値上がりしたトークンを売り、値下がりしたトークンを買うため、元のトークンをそのまま保有した場合よりも価値が低くなります。

なぜ「インパーマネント」なのか？

ILは、資金を引き出したときにのみ確定するため、「インパーマネント」と呼ばれます。価格が元の比率に戻れば、ILはゼロに戻ります。しかし、実際には価格が元どおりになることはほとんどないため、ILは通常、現実に生じます。

主なポイント

ILは絶対価格ではなく、価格比率の変化によって決まります。トークンが1ドルから2ドルに動いた場合も、100ドルから200ドルに動いた場合も、ILは同じです。どちらも比率が2倍になっているためです。また、変動の方向も関係ありません。2倍の上昇と0.5倍への下落では、ILの大きさは同じです。

定積型ILの計算式

標準的な x * y = k AMM（Raydium standard、Orca legacy）の場合：

IL = 2 * sqrt(r) / (1 + r) - 1

ここで r = P_new / P_initial（価格比率）です。

主な価格比率におけるIL

価格変動	比率（r）	IL
-75%	0.25	-5.72%
-50%	0.50	-5.72%
-25%	0.75	-0.60%
0%	1.00	0.00%
+25%	1.25	-0.60%
+50%	1.50	-2.02%
+100% (2x)	2.00	-5.72%
+200% (3x)	3.00	-13.40%
+400% (5x)	5.00	-25.46%
+900% (10x)	10.00	-42.54%

対称性に注目してください。2倍の上昇（r=2.0）と2倍の下落（r=0.5）は、どちらも-5.72%のILになります。

集中流動性（CLMM）によるILの増幅

集中流動性マーケットメーカー（Orca Whirlpools、Raydium CLMM、Meteora DLMM）では、LPが価格範囲 [P_lower, P_upper] 内に流動性を集中できます。これにより、手数料収入とILの両方が増幅されます。

集中度係数

concentration_factor = 1 / (1 - sqrt(P_lower / P_upper))

現在価格を中心とする±10%の範囲では、concentration_factor ≈ 10x です。

CLMMにおけるILの挙動

• 価格が範囲内にある場合：定積型ILと比べて、集中度係数に応じてILが増幅されます。
• 価格が範囲を外れた場合：ポジションは値下がりした資産のみで100%構成されます。これは、その方向における最大のILです。保有するのは値下がりしているトークンだけになります。

IL_clmm ≈ IL_constant_product * concentration_factor

この近似は、小さな価格変動の場合に成り立ちます。大きな価格変動の場合や、価格が範囲の境界に近い場合は、完全なCLMMの計算式を使用してください（references/il_formulas.md を参照）。

例：CLMMと定積型の比較

SOLが150ドルの場合、±20%の範囲（120～180ドル）でLPを行う例：

シナリオ	定積型IL	CLMM IL（±20%）
SOL → $180	-0.62%	約-3.1%
SOL → $200	-1.03%	SOL 100%（範囲外）
SOL → $120	-1.80%	約-9.0%
SOL → $100	-3.42%	USDC 100%（範囲外）

ILと手数料：損益分岐点分析

すべてのLPにとって重要な問いは、**獲得した手数料が発生したILを上回るか？**ということです。

Net Position = LP_value + accrued_fees - hold_value

accrued_fees > IL の場合に利益が出ます。

損益分岐の手数料率

定積積プールの場合、期間ごとの予想ILはおおよそ次のとおりです。

expected_IL ≈ σ² / 8

ここで、σはその期間の対数リターンの標準偏差です。つまり、次のようになります。

日次ボラティリティ（σ）	予想日次IL	損益分岐に必要な最低日次手数料率
1%	0.001%	0.001%
3%	0.011%	0.011%
5%	0.031%	0.031%
10%	0.125%	0.125%
20%	0.500%	0.500%

LP の日次手数料収入：

daily_fee_income = (deposit / TVL) * daily_volume * fee_rate

損益分岐分析の全体的なフレームワークについては、references/breakeven_analysis.md を参照してください。

IL の経時的なモデル化

モンテカルロシミュレーション

幾何ブラウン運動（GBM）を使って、多数のランダムな価格経路をシミュレーションします。

import numpy as np

def simulate_price_path(
    initial_price: float,
    daily_vol: float,
    days: int,
    drift: float = 0.0,
) -> np.ndarray:
    """Simulate a price path using geometric Brownian motion."""
    dt = 1.0  # daily steps
    log_returns = np.random.normal(
        (drift - 0.5 * daily_vol**2) * dt,
        daily_vol * np.sqrt(dt),
        days,
    )
    prices = initial_price * np.exp(np.cumsum(log_returns))
    return np.insert(prices, 0, initial_price)

各経路について、各時間ステップでのILと累積手数料収入を計算します。N回のシミュレーション後、結果の分布を分析します。

完全なモンテカルロシミュレーションについては、scripts/il_scenario_modeler.py を参照してください。

ヒストリカル分析

実際のOHLCV価格データを使って、過去の期間におけるILを計算します。これにより、より現実的な（ただし過去のデータに基づく）推定値が得られます。

IL の軽減策

1. ステーブルコインペア

USDC/USDTのようなペアは価格比がほとんど変動しないため、ILはほぼ発生しません。手数料収入はほぼそのまま利益になります。

2. 相関性の高いペア

SOL/mSOLやETH/stETHのようなペアは連動して動くため、価格比は1.0に近い状態を保ちます。ILは最小限です。

3. CLMMのレンジを広げる

レンジを広げると集中度係数が低下し、資本単位あたりの手数料収入は減少しますが、ILも軽減されます。

4. レンジの積極的な管理

価格を監視し、価格が境界に近づいたらCLMMのレンジをリバランスします。これにより、価格がレンジから完全に外れるリスクを軽減できます。

5. 手数料ティアの選択

より高い手数料ティア（例：0.3%ではなく1%）は、ボラティリティの高いペアで発生するILを補います。予想ボラティリティに応じて手数料ティアを選びます。

IL を許容できる状況

• 取引量の多いプール：手数料収入が予想ILを大幅に上回ります。
• 安定したペアまたは相関性の高いペア：構造的にILが最小限です。
• トークン蓄積戦略：いずれにしても、より安価なトークンを蓄積したい場合です。
• アクティブ管理を伴う短い投資期間：手数料が複利で増え、大きな価格変動の前にリバランスできます。

LP を避けるべき状況

• 取引量が少なく、ボラティリティが高い場合：ILが優勢になり、手数料では不十分です。
• トレンド相場：一方向への大きな価格変動により、ILが大きく、長期にわたって発生します。
• 流動性の低い新規トークン：数時間で価格が10倍以上動き、壊滅的なILを引き起こす可能性があります。
• スプレッドの広いプール：取引量が少ないため、手数料ではILをまったく補えません。

関連スキル

• lp-math：ILの計算式の基盤となるAMMの仕組みとリザーブの計算。
• yield-analysis：IL控除後のLP利回りを、他のDeFi機会と比較します。
• liquidity-analysis：プールの深さと取引量を評価し、手数料収入を推定します。
• volatility-modeling：ILのモデル化に使用するボラティリティの入力値を予測します。

ファイル

リファレンス

• references/il_formulas.md — 定積積プール、CLMM、マルチアセットプールのIL導出の全容
• references/breakeven_analysis.md — 実用的なツールを含む、手数料とILの損益分岐フレームワーク

スクリプト

• scripts/il_calculator.py — プールの種類を問わず、任意の価格変動に対するILを計算します。表と比較機能も備えています。
• scripts/il_scenario_modeler.py — 手数料とILをモデル化し、LPポジションの経時的なモンテカルロシミュレーションを行います。