latex-econ-model

LaTeX 経済モデル作成者

目的

このスキルは、経済学者が適切な数学的表記、一貫した書式、学術的な慣習に従って、経済モデルを LaTeX で作成・組版するのに役立ちます。効用最大化、均衡条件、動的計画法、ゲーム理論モデルを扱います。

使用するタイミング

• 論文の理論セクションを執筆するとき
• 経済モデルを形式化するとき
• 数式を含む講義ノートを作成するとき
• 最適化問題や均衡条件を組版するとき

手順

ステップ 1：モデルの種類を把握する

ユーザーに次の質問をします。

1. どの種類のモデルですか？（静学的最適化、動的計画法、ゲーム理論、一般均衡）
2. エージェントの種類は何ですか？（消費者、企業、政府など）
3. どのような制約がありますか？
4. 証明も含めますか、それとも設定のみですか？

ステップ 2：標準的な表記法を使用する

経済学の慣習に従います。

• 効用：$U$、$u$、または $v$
• 生産：$F$、$f$、または $Y$
• 価格：$p$、$w$、$r$
• 数量：$q$、$x$、$y$
• 時間の添字：$t$、$t+1$
• パラメーターにはギリシャ文字：$\alpha$、$\beta$、$\gamma$、$\delta$

ステップ 3：モデルを構成する

次のように整理します。

1. 環境 - エージェント、財、時間範囲
2. 選好／技術 - 効用関数、生産関数
3. 制約 - 予算、資源、インセンティブ適合性
4. 均衡概念 - 定義と条件
5. 解 - 一階条件、閉形式解

出力例

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}
\usepackage{mathtools}

% Theorem environments
\newtheorem{definition}{Definition}
\newtheorem{proposition}{Proposition}
\newtheorem{lemma}{Lemma}

% Custom commands for economics
\newcommand{\E}{\mathbb{E}}          % Expectation
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}          % Real numbers
\newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}  % Partial derivative

\begin{document}

\section{A Simple Consumer Problem}

\subsection{Environment}

Consider a consumer who lives for two periods, $t \in \{1, 2\}$. The consumer has preferences over consumption $c_t$ represented by the utility function:
%
\begin{equation}
    U(c_1, c_2) = u(c_1) + \beta u(c_2)
\end{equation}
%
where $\beta \in (0,1)$ is the discount factor and $u(\cdot)$ is strictly increasing and strictly concave.

\subsection{Constraints}

The consumer earns income $y_1$ in period 1 and $y_2$ in period 2. She can save at gross interest rate $R = 1 + r$. The budget constraints are:
%
\begin{align}
    c_1 + s &= y_1 \label{eq:bc1}\\
    c_2 &= y_2 + Rs \label{eq:bc2}
\end{align}
%
where $s$ denotes savings. Combining \eqref{eq:bc1} and \eqref{eq:bc2} yields the intertemporal budget constraint:
%
\begin{equation}
    c_1 + \frac{c_2}{R} = y_1 + \frac{y_2}{R} \equiv W
\end{equation}

\subsection{Optimization Problem}

The consumer solves:
%
\begin{equation}
    \max_{c_1, c_2} \quad u(c_1) + \beta u(c_2) 
    \quad \text{s.t.} \quad c_1 + \frac{c_2}{R} = W
\end{equation}

\subsection{Solution}

The Lagrangian is:
%
\begin{equation}
    \mathcal{L} = u(c_1) + \beta u(c_2) + \lambda\left(W - c_1 - \frac{c_2}{R}\right)
\end{equation}

First-order conditions:
%
\begin{align}
    \pd{\mathcal{L}}{c_1} &= u'(c_1) - \lambda = 0 \\
    \pd{\mathcal{L}}{c_2} &= \beta u'(c_2) - \frac{\lambda}{R} = 0
\end{align}

Combining these yields the \textbf{Euler equation}:
%
\begin{equation}
    \boxed{u'(c_1) = \beta R \cdot u'(c_2)}
\end{equation}

\begin{proposition}[Consumption Smoothing]
If $\beta R = 1$, then $c_1^* = c_2^*$ (perfect consumption smoothing).
\end{proposition}

\begin{proof}
When $\beta R = 1$, the Euler equation becomes $u'(c_1) = u'(c_2)$. Since $u$ is strictly concave, $u'$ is strictly decreasing, which implies $c_1 = c_2$.
\end{proof}

%====================================
\section{A Firm's Dynamic Problem}
%====================================

Consider a firm that maximizes the present value of profits:
%
\begin{equation}
    \max_{\{k_{t+1}, n_t\}_{t=0}^{\infty}} \sum_{t=0}^{\infty} \beta^t \left[ F(k_t, n_t) - w_t n_t - I_t \right]
\end{equation}
%
subject to the capital accumulation equation:
%
\begin{equation}
    k_{t+1} = (1 - \delta) k_t + I_t
\end{equation}

The Bellman equation is:
%
\begin{equation}
    V(k) = \max_{k', n} \left\{ F(k, n) - wn - k' + (1-\delta)k + \beta V(k') \right\}
\end{equation}

\end{document}

含める LaTeX パッケージ

% Essential packages for economics papers
\usepackage{amsmath}    % Enhanced math environments
\usepackage{amssymb}    % Mathematical symbols
\usepackage{amsthm}     % Theorem environments
\usepackage{mathtools}  % Extensions to amsmath
\usepackage{bm}         % Bold math symbols
\usepackage{dsfont}     % \mathds for indicator functions

便利なカスタムコマンド

% Expectation and probability
\newcommand{\E}{\mathbb{E}}
\newcommand{\Var}{\text{Var}}
\newcommand{\Cov}{\text{Cov}}
\newcommand{\Prob}{\mathbb{P}}

% Indicator function
\newcommand{\ind}{\mathds{1}}

% Partial derivatives
\newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\pdd}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2^2}}

% Argmax/argmin
\DeclareMathOperator*{\argmax}{arg\,max}
\DeclareMathOperator*{\argmin}{arg\,min}

% Blackboard bold
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

ベストプラクティス

1. 複数行の数式には align 環境を使用します
2. 重要な数式には \label{} でラベルを付け、\eqref{} で参照します
3. 数式内の単語には \text{} を使用します（裸のテキストは使いません）
4. 重要な結果は \boxed{} で囲みます
5. 繰り返し使う表記にはカスタムコマンドを定義します
6. 添字の慣習（時間には $t$、個人には $i$）を統一します

よくある落とし穴

• ❌ 乗算に * を使う（\cdot または暗黙の乗算を使います）
• ❌ 括弧のサイズを自動調整する \left( と \right) を忘れる
• ❌ 論文内で表記が一貫していない
• ❌ 数式の = の位置を揃えていない
• ❌ 適切な環境の代わりに $$ ... $$ を使う

参考資料

• AMS-LaTeX ユーザーガイド
• LaTeX の短くない入門書
• Mathpix - 手書きの数式を LaTeX に変換

変更履歴

v1.0.0

• 消費者、企業、ゲーム理論のテンプレートを含む初回リリース