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LP Math — AMM 流動性提供の数学

自動マーケットメーカー（AMM）は、従来のオーダーブックを流動性プールに置き換えます。買い手と売り手をマッチングする代わりに、リザーブの比率に基づいて数式で価格を決定します。流動性提供者（LP）は両方の資産をプールに預け入れ、すべての取引から手数料を獲得します。

AMM の数学を理解することは、次の点で不可欠です。

• インパーマネントロスを考慮したうえで、流動性提供に利益があるかを評価する
• 大口取引を実行する前に価格インパクトを見積もる
• プールの種類（定積型と集中流動性型）ごとの資本効率を比較する
• 特定のプールポジションで見込まれる手数料収益を計算する

関連スキル：IL の計算については impermanent-loss、LP 利回りのモデル化については yield-analysis、プールの厚みの評価については liquidity-analysis を参照してください。

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1. 定積型 AMM（xy = k）

Raydium V4 やほとんどの Solana DEX で使われている基礎的な AMM モデルです。

基本不変量

x * y = k

各記号の意味は次のとおりです。

• x = トークン X のリザーブ量（例：SOL）
• y = トークン Y のリザーブ量（例：USDC）
• k = 定積（手数料によって時間とともに増加します）

スポット価格

P = x / y    (price of Y in terms of X)
P = y / x    (price of X in terms of Y)

100 SOL と 10,000 USDC のプールの場合、SOL の価格は 10,000 / 100 = 100 USDC です。

取引の実行

トレーダーがトークン X を Δx だけプールにスワップする場合：

# Output amount (before fees)
delta_y = y * delta_x / (x + delta_x)

# With fee (e.g., 0.3%)
delta_y_after_fee = delta_y * (1 - fee_rate)

# New reserves
x_new = x + delta_x
y_new = y - delta_y_after_fee

重要なポイント：大口取引ほど価格が不利になります。各単位を取引するたびに比率がさらに動くためです。

逆算

特定の出力量 Δy を得るために必要な入力は次のとおりです。

delta_x = x * delta_y / (y - delta_y)

取引後の価格

price_new = y_new / x_new

計算例

プール：100 SOL / 10,000 USDC（k = 1,000,000）、手数料 = 0.3%

5 SOL 相当の USDC を購入する場合：

1. 手数料控除前の出力量：10,000 * 5 / (100 + 5) = 476.19 USDC
2. 手数料：476.19 * 0.003 = 1.43 USDC
3. 手数料控除後の出力量：474.76 USDC
4. 実効価格：474.76 / 5 = 94.95 USDC/SOL（スポット価格は 100）
5. 価格インパクト：(100 - 94.95) / 100 = 5.05%
6. 新しいリザーブ：105 SOL / 9,525.24 USDC
7. 新しい k：105 * 9,525.24 = 1,000,150.2（手数料によって k が増加）

完全な導出については references/amm_formulas.md を参照してください。

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2. 集中流動性（CLMM）

Orca Whirlpool、Raydium CLMM、Meteora DLMM で使われています。流動性は、指定した価格範囲 [P_lower, P_upper] 内でのみ有効です。

主な概念

L = sqrt(x * y)           # Liquidity within the active range
price_at_tick = 1.0001^tick  # Tick-to-price conversion

資本効率

狭い範囲に流動性を集中させると、1 ドルあたりの厚みが増します。

# Capital efficiency ratio
efficiency = sqrt(P_upper / P_lower) / (sqrt(P_upper / P_lower) - 1)

# Example: ±5% range around $100 SOL
P_lower, P_upper = 95, 105
efficiency = sqrt(105/95) / (sqrt(105/95) - 1)  # ≈ 20.5x

±5% の範囲ではフルレンジと比べて資本効率が約 20 倍になりますが、価格が範囲外に動くとポジションは 100% 片方の資産になります。

ポジション価値

現在価格が P のとき、範囲 [P_lower, P_upper] 内にある流動性 L の CLMM ポジションについて：

if P <= P_lower:
    # All in token X (below range)
    value_x = L * (1/sqrt(P_lower) - 1/sqrt(P_upper))
    value_y = 0
elif P >= P_upper:
    # All in token Y (above range)
    value_x = 0
    value_y = L * (sqrt(P_upper) - sqrt(P_lower))
else:
    # In range — holds both tokens
    value_x = L * (1/sqrt(P) - 1/sqrt(P_upper))
    value_y = L * (sqrt(P) - sqrt(P_lower))

レンジ戦略の比較

範囲	効率	IL リスク	手数料の獲得	最適な用途
±2%	約 50 倍	非常に高い	範囲内なら高い	ステーブルコイン、狭いペッグ
±5%	約 20 倍	高い	トレンド相場に適している	積極的な運用
±25%	約 4 倍	中程度	安定している	セミパッシブ運用
±100%	約 2 倍	低い	1 ドルあたりでは低め	パッシブ運用、価格変動の大きいペア
フルレンジ	1 倍	基準	常に獲得	設定後は放置

CLMM の完全な導出については references/amm_formulas.md を参照してください。

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3. 価格インパクト

定積型の価格インパクト

# Price impact as a fraction
price_impact = delta_x / (x + delta_x)

# As percentage of pool
pool_fraction = trade_value / pool_tvl

# Rule of thumb: impact ≈ 2 * pool_fraction for constant product

複数ホップの価格インパクト

複数のプールを経由するルートでは、価格インパクトを複利で計算します。

def multi_hop_impact(hops: list[dict]) -> float:
    """Calculate total price impact across route legs.

    Args:
        hops: List of {reserve_in, trade_amount} for each leg.

    Returns:
        Total price impact as a fraction.
    """
    remaining = 1.0
    for hop in hops:
        leg_impact = hop["trade_amount"] / (hop["reserve_in"] + hop["trade_amount"])
        remaining *= (1 - leg_impact)
    return 1 - remaining

インパクトのしきい値

インパクト	評価	対応
< 0.1%	無視できる	通常どおり進める
0.1–0.5%	低い	ほとんどの取引で許容可能
0.5–2%	中程度	プール間で分割することを検討する
2–5%	高い	取引を分割し、TWAP を使う
> 5%	深刻	サイズを縮小するか、より深いプールを探す

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4. LP シェアの計算

初回預け入れ（空のプール）

shares = sqrt(x_deposited * y_deposited)

最初の預け入れ者が比率を設定し、幾何平均に等しいシェアを受け取ります。

2 回目以降の預け入れ

shares_minted = min(
    x_added / x_reserve,
    y_added / y_reserve
) * total_shares

預け入れは、現在のリザーブ比率に比例している必要があります。一方のトークンに余剰がある場合、その分は使用されないか、実装によっては返却されます。

出金

x_out = (shares_burned / total_shares) * x_reserve
y_out = (shares_burned / total_shares) * y_reserve

現在の比率に基づき、両方のトークンを常に受け取ります。

シェア価値

share_value = pool_tvl / total_shares
your_value = your_shares * share_value

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5. 手数料の蓄積

手数料はプール内に蓄積され、k が増加します。

# Before trade: k = x * y
# After trade with fee:
# k_new = (x + delta_x) * (y - delta_y_net) > k
# The difference is the fee retained in the pool

# Fee APR estimation
daily_volume = 500_000  # USD
fee_rate = 0.003        # 0.3%
daily_fees = daily_volume * fee_rate  # $1,500
tvl = 2_000_000         # $2M pool
fee_apr = (daily_fees * 365) / tvl    # 27.4%

CLMM ポジションの手数料収益は、以下の要素によって決まります。

• 価格が自分の範囲内にとどまっているかどうか（範囲外では手数料は発生しません）
• その範囲内のアクティブな流動性に占める自分のシェア
• プールを経由する総取引量

# CLMM fee estimation
your_liquidity = 50_000     # Your L
total_liquidity = 1_000_000  # Total L in your tick range
your_share = your_liquidity / total_liquidity  # 5%
your_daily_fees = daily_fees * your_share  # $75

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6. Solana のプールタイプ

Raydium V4（定積）

• モデル：標準的な xy = k
• 手数料：0.25%（0.22% は LP 向け、0.03% は RAY の買い戻し向け）
• 最適な用途：新しいトークンのローンチ、価格変動の大きいペア
• 注：指値注文のフローに対応するため、OpenBook と統合されています

Orca Whirlpool（集中流動性）

• モデル：ティック間隔を使用した集中流動性
• 手数料階層：0.01%、0.05%、0.3%、1%
• ポジション：NFT として表されます（各ポジションは固有です）
• 最適な用途：主要なペア（SOL/USDC）、ステーブルコインのペア

Raydium CLMM

• モデル：集中流動性（Uniswap V3 に類似）
• ティック間隔：1、10、60、200
• 手数料階層：0.01%、0.05%、0.25%、1%
• 最適な用途：予測可能な価格範囲を持つペア

Meteora DLMM（動的流動性マーケットメーカー）

• モデル：連続したティックではなく、離散的なビンを使用
• 戦略：Spot（均等）、Curve（集中）、Bid-Ask（現在価格付近）
• 手数料：動的で、価格変動に応じて調整されます
• 最適な用途：頻繁にリバランスするアクティブな LP

詳細な仕組みと比較については、references/pool_mechanics.md を参照してください。

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7. 実践的な判断フレームワーク

LP になるべきでしょうか？

1. Calculate expected fee APR
2. Estimate impermanent loss for expected price movement
3. Net return = fee APR - IL
4. Compare to simply holding the assets

どのプールタイプを選ぶべきでしょうか？

Stablecoin pair     → CLMM with tight range (±0.5%)
Major pair (SOL/USDC) → CLMM with moderate range (±10-25%)
New/volatile token  → Constant product (full range)
Active management   → Meteora DLMM with dynamic rebalancing

LP のポジションサイズ

# Never LP more than you can afford to lose to IL
max_lp_allocation = portfolio_value * 0.20  # 20% max in any single pool

# For volatile pairs, reduce further
volatility_adjustment = 1 - (annualized_vol / 2)  # Scale down for vol
adjusted_allocation = max_lp_allocation * max(0.1, volatility_adjustment)

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ファイル

リファレンス

• references/amm_formulas.md — 定積および集中流動性 AMM の完全な数学的導出
• references/pool_mechanics.md — Raydium、Orca、Meteora の Solana 固有のプールの仕組み

スクリプト

• scripts/amm_calculator.py — 取引シミュレーション、LP シェア、手数料の蓄積に対応した定積 AMM 計算ツール
• scripts/clmm_calculator.py — ポジション評価、資本効率、価格範囲の比較に対応した集中流動性計算ツール

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クイックリファレンス

数式	式
定積	x * y = k
スポット価格	P = y / x
取引出力量	Δy = y * Δx / (x + Δx)
必要な入力量	Δx = x * Δy / (y - Δy)
価格への影響	Δx / (x + Δx)
初期 LP シェア	sqrt(x * y)
以降のシェア	min(Δx/x, Δy/y) * total
手数料 APR	(daily_fees * 365) / TVL
CLMM 効率	sqrt(P_u/P_l) / (sqrt(P_u/P_l) - 1)
ティックから価格への変換	1.0001^tick