math-intuition-builder

数学の直感を養う

使用する場面

次のような表現があった場合に起動します。

• 「理解するのを手伝って」
• 「〜の直感を養って」
• 「幾何学的にはどういう意味？」
• 「なぜこれが成り立つの？」
• 「この概念を視覚化して」
• 「〜の具体例」
• 「〜の直感的な意味は？」

計算を始める前に、理解を深めるために使用します（Polya の「問題を理解する」段階）。

手順

Mason の具体化と一般化のサイクルに沿って進めます。

1. 自分の言葉で言い換える

質問: 「問題を自分の言葉で説明できますか？」

• 考え直すきっかけになります
• 誤解を早い段階で見つけられます
• 共通の理解があるか確認できます

2. 具体例を試す

質問: 「具体例はどのようになりますか？」

• 具体化する：N=3、x=2、簡単なケースを試す
• 抽象的な概念を具体的な事例に結び付けます
• 計算ツールを使って例を検証します

3. 答えを予想する

質問: 「答えはどのような形になるはずですか？」

• 予想される結果から逆向きに考えます
• 解の候補を絞り込みます
• 次元の整合性を確認します

4. 視覚化する

質問: 「図やダイアグラムを描けますか？」

• 複数の表現を使うことが重要です
• 代数的 <-> 幾何学的 <-> 数値的
• 簡単なスケッチには ASCII 図を使います

5. 単純化する

質問: 「この問題をより簡単にしたものは何ですか？」

• 次元を減らします
• 項を取り除きます
• 特殊なケースから構造を見つけます

6. 類推を見つける

質問: 「これまでに解いた問題で、似ているものはありますか？」

• 領域をまたいでパターンを照合します
• 解決策を応用します

質問する内容

1. 何を求めようとしていますか？（言い換える）
2. 小さな数ではどうなりますか？（具体化する）
3. 答えはどのような形になるはずですか？（予想する）
4. 視覚的にはどのように見えますか？（表現する）
5. 最も簡単な形にするとどうなりますか？（簡略化する）
6. 何に似ていますか？（類推する）

出力形式

Understanding Checkpoint:

Restated Problem:
[User's words, verified]

Concrete Instance:
[Specific numerical example]

Visual Interpretation:
[Description or ASCII diagram]

Simplified Version:
[Special case that's easier]

Analogous Problems:
[Similar structures from other domains]

Intuition Summary:
[1-2 sentence "aha" insight]

Ready to Proceed:
- Next step: [specific action]
- Verify by: [sanity check]

対話例

User: I'm trying to understand why eigenvalues matter for stability

Claude: Let's build intuition step by step.

Q1: Restate the problem?
> I have x' = Ax and want to know if solutions grow or shrink.

Q2: Let's try a concrete example.
A = [[0, 1], [-1, 0]]

Computing eigenvalues: +/- i (purely imaginary)

What happens to solutions?
> They neither grow nor shrink?

Exactly. Solutions are circles - oscillation without growth.

Q3: Now try A = [[-1, 0], [0, -1]]
Eigenvalues: -1, -1 (negative real)

What happens?
> Shrinks to zero.

Yes. Negative real parts = decay.

Q4: Visual pattern:

  Im
   |    x unstable
   |
---+------- Re
   |
   |    x stable

Re(lambda) < 0: stable (decay)
Re(lambda) = 0: marginal (oscillate)
Re(lambda) > 0: unstable (blow up)

Q5: Analogies:
- Springs: eigenvalues = decay rates
- Populations: growth/death rates
- Circuits: time constants

Intuition Summary:
Eigenvalues are the system's "DNA" - they encode fundamental rates.
Look at real parts for stability.

Ready to Proceed:
- Next: Analyze your specific A matrix
- Verify: trace(A) < 0 and det(A) > 0 implies stability (2x2 case)

併せて有効化

次のスキルと併せて提案します。

• math-model-selector - フレームワークが明確でない場合
• math-mode - 具体的な計算を行う場合
• math-progress-monitor - 問題を解いている間
• 関連する領域のスキル - 直感を養った後