matlab-solve-optimization

MATLAB 最適化ワークフロー

問題の分類、定式化、ソルバーの選択と設定、結果の検証まで、最適化のライフサイクル全体を案内します。

使用する場面

• MATLAB で最適化問題（変数、目的関数、制約）を定義している場合
• optimproblem、optimvar、optimconstr、optimexpr、または fcn2optimexpr について質問している場合
• ソルバーの選択や設定（optimoptions、アルゴリズムの選択、調整）を行っている場合
• 結果の解釈、収束のデバッグ、または exitflag の確認を行っている場合
• 問題ベースとソルバーベースのどちらのアプローチを使うか検討している場合
• 決定変数や制約に対する for ループを使って最適化コードを書いている場合

使用しない場面

• 数値最適化ソルバーを必要としない問題（例：配列やテーブルから最小値を見つけること）を解こうとしている場合
• 最適化以外の MATLAB コード（データ解析、プロット、信号処理）を扱っている場合
• サードパーティ製の最適化ツールボックス（MathWorks 製ではない）を使用している場合
• solve(eqns, vars) を使った記号方程式、ODE システム、または線形システムの求解（A\b）を行っている場合

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ステージ 1：分類と定式化

1.1 問題を分類する

定式化の前に、問題のクラスを特定してください。これは、使用するソルバー、保証できる結果（大域的か局所的か）、および汎用的な手法の代わりに特定分野向けのツールを使うべきかどうかを決める要素です。

クラス→ソルバー→保証の対応表、凸性の簡易チェック、「より簡単な隠れたクラス」を見つけるヒューリスティクスについては、references/classify.md を参照してください。主な対応事項：

• optimproblem に進む前に、目的に特化したツールがないか確認する
• 隠れた、より簡単なクラスに注意する（NLP に見せかけた二乗和、見落とされた線形構造など）
• QP では eig(H) を確認する。非凸 QP は quadprog を信頼して使用できません
• 隠れた非滑らかさに注意する：max、min、abs、sort、if／分岐、または 2 乗ユークリッドノルム以外のノルム

1.2 アプローチを選択する

読みやすい定義、N 次元モデリング、すべての LP、QP、錐計画問題、混合整数問題（係数がすでに行列・ベクトル形式である場合を除く）では、デフォルトで問題ベースを使用してください。問題ベースでは自動微分が行われ、誤りも起こりにくくなります。

AD が阻まれる場合（例：目的関数内の ode45）でも、fcn2optimexpr で関数をブラックボックスとしてラップできます。そのため、問題ベースは引き続き有用です。

次のいずれかに該当する場合に限り、ソルバーベースに切り替えてください。

ソルバーベースを使用する場面...	理由
ソルバー API への単純な対応付け — ベクトル x が 1 つで、正確な勾配・ヘッセ行列を備えた目的関数が事前にコーディングされている	抽象化による利点がなく、ソルバーベースのほうが直接的です
問題ベースの式を構築するオーバーヘッドが計算を支配している	トレース／変換のオーバーヘッドを避けられます
問題ベースで公開されていないソルバー機能（CheckpointFile、正確なヘッセ行列、カスタム OutputFcn）が必要	ソルバーベースの呼び出しでのみ利用できます
組み込み展開用の C コード生成が必要	問題ベースはコード生成をサポートしていません

アプローチ間の変換： prob2struct(prob) は、展開またはパフォーマンス向上のために、問題ベースの形式をソルバーベースの形式に変換します。

参考資料：

• 問題ベース：references/problem-based-guide.md
• ソルバーベース（クラス→ソルバーの対応付け）：references/classify.md

1.3 問題を定式化する

問題ベースの標準テンプレート：

% 1. Define decision variables
x = optimvar("x", N, LowerBound=lb, UpperBound=ub);

% 2. Create problem
prob = optimproblem("Objective", sum(x,"all"));

% 3. Add constraints
prob.Constraints.linear = A*x <= b;
prob.Constraints.nonlinear = fcn2optimexpr(@myNonlinFcn, x) <= rhs;

% 4. Set initial guess (must be struct with field names matching optimvar names)
x0.x = initialValues;

% 5. Solve
[sol, fval, exitflag, output] = solve(prob, x0);

ソルバーベースとの主な違い：

• 初期値は構造体ではなく、数値ベクトルです
• 変数のインデックスは手動で管理します（フラットなベクトル x）
• パフォーマンスを最大限に高めるには、勾配を手動で指定します（SpecifyObjectiveGradient=true）
• 線形／二次ソルバーでは、係数行列を明示的に指定する必要があります

1.4 初期点で検証する

ソルバーを呼び出す前に、x0 で目的関数と制約を評価し、符号・サイズ・NaN のエラーを早期に検出します。

% Problem-based
fval0 = evaluate(prob.Objective, x0);
assert(isfinite(fval0), 'Objective is not finite at x0');
infeas0 = infeasibility(prob.Constraints, x0);
fprintf('Max infeasibility at x0: %.3e\n', max(infeas0));

ソルバーベースの場合は、fun(x0) と nonlcon(x0) を直接呼び出し、出力が有限値で、サイズが正しいことを確認します。勾配を指定している場合は、この時点で checkGradients を実行します。

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ステージ 2：ソルバーを選択して設定する

2.1 最も適したソルバーを選択する

問題の構造に合った、最も適したソルバーを選択します。 より具体的なソルバーが適用できる場合は、fmincon やヒューリスティックな大域ソルバーをデフォルトで選択しないでください。

主な選択ルール：

• 常に次の優先順位に従います：linprog > quadprog > coneprog > lsqlin > lsqnonlin > fmincon > 大域ソルバー
• Optimization Toolbox がインストールされている場合は、常に fminsearch より fminunc を優先します
• 最小二乗問題では、常に fmincon より lsqnonlin／lsqcurvefit を優先します
• 境界または線形制約がある線形最小二乗問題では、常に lsqnonlin より lsqlin を優先します
• 勾配を利用できない、または信頼できない場合で、問題の計算コストが極端に高くないときは patternsearch を使用します
• 各評価に 15～20 秒以上かかる場合は surrogateopt を使用します
• ほぼ線形な MIP では、線形化して Global Optimization ソルバーを呼び出すのではなく、intlinprog を使用します
• ユニットコミットメント／バイナリ運転モードでは、intlinprog を使用する混合整数問題として扱います

クラスからソルバーへの完全な対応表については、references/classify.md を参照してください。

2.2 オプションを確認する — 推測しない

オプションを使用する前に、必ずソルバーオプションが有効であることを確認してください。 オプションは MATLAB のリリースによって変わるため、実在しないオプションを指定すると実行時エラーが発生します。

% Verify options for a solver
opts = optimoptions('solvername')

オプションのコードを記述する前に、optimoptions('solvername') を実行して、ユーザーがインストールしているバージョンで有効なオプションをすべて確認します。

2.3 勾配を検証する（指定している場合）

解析的勾配を指定している場合（SpecifyObjectiveGradient=true）、求解前に検証します。

[valid, err] = checkGradients(@myObjective, x0, Display="on");

制約勾配の場合：checkGradients(@myConstraints, x0, IsConstraint=true)。

2.4 並列化する（計算コストが高い場合）

ソルバーが UseParallel に対応しており、Parallel Computing Toolbox が利用可能な場合：

ver('parallel')  % Check for PCT
options = optimoptions('solvername', UseParallel=true);

UseParallel に対応するソルバー：fmincon、fminunc、lsqnonlin、lsqcurvefit、patternsearch、surrogateopt、ga、particleswarm、paretosearch、gamultiobj。

次のソルバーでは UseParallel を提案しないでください：quadprog、intlinprog、fminsearch、linprog、lsqlin。

2.5 パフォーマンス（正しさを確認した後）

求解結果は正しいものの遅すぎる場合は、references/performance-levers.md を参照してください。主な調整項目：解析的勾配、疎性パターン、ウォームスタート、コード生成。ステージ 3 で正しさを確認した後にのみ適用し、パフォーマンスを変更した場合は必ず再検証してください。

参考： ソルバーごとのアルゴリズムと調整方法については、references/solver-tuning.md を参照してください。

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ステージ 3：結果を検証する

3.1 基本検証（必ず含める）

ソルバーを呼び出すコードを書く際は、毎回、基本的な出力検証を追加してください。

[sol, fval, exitflag, output] = solve(prob, x0);

% Check convergence
if exitflag > 0
    fprintf('Optimization converged: %s\n', output.message);
else
    warning('Optimization did not converge (exitflag = %d): %s\n', exitflag, output.message);
end

% Report key metrics
fprintf('Objective value: %.6f\n', fval);
fprintf('Iterations: %d\n', output.iterations);
if isfield(output, 'constrviolation')
    fprintf('Constraint violation: %d\n', output.constrviolation);
end

ソルバーごとの exitflag の意味の詳細については、references/validation-checklist.md を参照してください。

3.2 拡張検証

制約違反（問題ベース）：

[allsat, sat] = issatisfied(prob, sol);
if ~allsat
    conNames = fieldnames(prob.Constraints);
    for i = 1:numel(conNames)
        infeas = infeasibility(prob.Constraints.(conNames{i}), sol);
        if any(infeas > 0)
            fprintf('Constraint "%s" violated by %.3e\n', conNames{i}, max(infeas));
        end
    end
end

最適性条件（勾配ベースのソルバーのみ — patternsearch、ga、particleswarm、surrogateopt では省略）：

if isfield(output, 'firstorderopt')
    fprintf('First-order optimality: %.6e\n', output.firstorderopt);
    if output.firstorderopt > 1e-3
        warning('First-order optimality measure is large — solution may not be optimal.\n');
    end
end

3.3 失敗した解や品質の低い解のデバッグ

exitflag <= 0 の場合や収束が不十分な場合は、references/improving-results.md の結果改善チェックリストに従ってください。

1. 定式化を確認する — 制約は実行可能ですか？境界は整合していますか？目的関数は x0 で適切に定義されていますか？
2. スケーリングを確認する — 変数を O(1) にスケーリングします。目的関数と制約の桁が大きく異なる場合は再スケーリングします。有限差分勾配が不正確な場合は FiniteDifferenceType='central' を使用します。
3. 別のアルゴリズムを試す — options.Algorithm を変更し、MaxIterations／MaxFunctionEvaluations を増やし、許容誤差を調整し、ヒューリスティックソルバーでは HybridFcn を設定します。
4. 別の初期点を試す — 大域最適化には、MultiStart、GlobalSearch、または surrogateopt／ga を使用します。

デバッグの原則：

• まずは最小規模で試します。 変数を 2～3 個に減らします。おもちゃの問題ならバグの特定に数分ですが、フルスケールでは数時間かかります。
• 症状に基づいて、一度に 1 つだけ変更します。
• 中断して相談する基準を設けます。 改善がないまま 3 回を超えて試行した場合、診断結果が変わらないオプション調整が 2 回を超えた場合、またはおもちゃの問題でも x0 で有限の目的関数値を得られない場合は、コーディングを中断してユーザーに相談します。

3.4 アプリケーション固有の可視化

問題領域	推奨プロット
最適制御／ナビゲーション	時間に対する状態軌跡、制御入力プロファイル、位相図
スケジューリング／割り当て	ガントチャート、時間経過に伴うリソース使用率
設計最適化	最適解をマークした等高線図、感度プロット
パラメーター推定／フィッティング	残差プロット、データとフィッティング済み曲面
ポートフォリオ／配分	配分の棒グラフ、効率的フロンティアのプロット

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注意点

定式化

1. 初期推定値は、フィールド名が optimvar の名前と完全に一致する構造体でなければなりません。 フラットなベクトルは使用しないでください。
2. 問題ベースのオプションで SpecifyObjectiveGradient や SpecifyConstraintGradient を設定しないでください。 勾配は AD が内部で処理します。
3. 多次元の問題には N 次元の optimvar を使用します。 ループ内でスカラー変数を作成しないでください。
4. 制約配列は optimconstr(N) で事前割り当てします。 ループ内で連結しないでください。
5. 関数ごとに fcn2optimexpr を呼び出すのは 1 回だけにし、ループ内では呼び出さないでください。 references/fcn2optimexpr-guide.md を参照してください。
6. トレース対象の関数内で事前割り当てを行うときは、AD の型を維持するために "like" を使用します。 zeros(n,1,"like",x) のように指定します。

ソルバーの設定

7. 記憶を頼りにオプション名を推測しないでください。 必ず optimoptions('solvername') で確認してください。
8. patternsearch の MeshTolerance を過度に厳しく設定しないでください。
9. 早期停止のために、intlinprog の AbsoluteGapTolerance／RelativeGapTolerance を大きく設定しないでください。 時間制限／ノード制限を使用してください。
10. 許容誤差は機械イプシロンを十分に上回る値にします。 特別な要件がない限り、1e-6～1e-8 の範囲を使用してください。

検証

11. 制約なしソルバーでは output.constrviolation は存在しません。 必ず isfield で確認してください。
12. 導関数不要のソルバーでは output.firstorderopt を確認しないでください。 代わりにソルバー固有の指標（output.meshsize、output.stallgenerations など）を確認してください。
13. infeasibility() は問題全体ではなく、個々の制約に対して動作します。 全体を確認するには issatisfied(prob, sol) を使用してください。
14. fmincon で exitflag <= 0 の場合は、output.bestfeasible を確認してください。 新しい求解の開始点として使用します。

規約

• 特定の阻害要因がある場合を除き、問題ベースのアプローチをデフォルトとします。
• ベクトル化が可能な場合は、常にループよりもベクトル化を優先します。
• 複雑なロジックを fcn2optimexpr でラップする場合は、ループ内で呼び出すのではなく、単一のヘルパー関数にまとめます。
• 初期値の設定を必ず示します。
• ユーザーが提供する関数に依存するコードブロックには、テンプレートと明記します。
• 調整オプションを提案する場合は、トレードオフ（速度と精度）を説明します。
• 過剰な調整は避けます。単純な問題や小規模な問題では、デフォルト設定で十分なことがほとんどです。
• ソルバーを呼び出すコードを書く場合は、必ず基本的な検証（exitflag の確認）を含めます。
• デバッグ時は、アルゴリズムを変更する前に、定式化とスケーリングを確認します。

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