rudin-real-complex-analysis

Rudinの実解析と複素解析

Walter Rudinの「Real and Complex Analysis」（第3版）のリファレンススキルです。測度論、積分、関数解析、複素解析を扱う大学院レベルの教科書です。

使用する場面

以下の内容に取り組む際に、このスキルを使用します。

• 測度論とルベーグ積分
• Lp 空間と関数解析
• 複素解析（解析関数、複素積分、留数）
• 実解析と複素解析のつながり

対象トピック

実解析

• 距離空間における極限と連続性
• 数列と級数の収束
• 微分と積分の手法
• 距離空間と位相

複素解析

• 解析関数とコーシー・リーマン方程式
• 複素積分とコーシーの定理
• 留数定理とその応用
• 等角写像
• べき級数による表現

位相

• 位相空間
• コンパクト性と連結性
• 距離空間の位相

代数

• 環とイデアル（関数空間に関連する内容）

判断ツリー

1. 測度／積分の問題ですか？

   • ルベーグの優収束定理を使用します
   • liminf／limsup にはファトゥの補題を確認します
   • 反復積分にはフビニ＝トネリの定理を適用します

2. 複素解析の問題ですか？

   • コーシー・リーマン方程式で解析性を確認します
   • 積分には、留数定理を使用します
   • 写像には、シュワルツの補題と等角性の性質を使用します

3. 関数解析ですか？

   • 双対空間には、リースの表現定理を使用します
   • 拡張には、ハーン＝バナッハの定理を使用します
   • 開写像定理／閉グラフ定理を使用します

ツールコマンド

Rudinの内容を検索

uv run python scripts/ragie_query.py --query "YOUR_TOPIC measure integration" --partition math-textbooks --top-k 5

記号計算にSymPyを使用

uv run python scripts/sympy_compute.py integrate "exp(-x**2)" --var x --bounds "0,oo"

検証にZ3を使用

uv run python scripts/z3_solve.py prove "forall x, |f(x)| <= M implies bounded"

主要な定理のリファレンス

定理	章	使用例
優収束定理	Ch 1	極限と積分の順序を交換する
リースの表現定理	Ch 2	双対空間を特定する
コーシーの定理	Ch 10	解析関数の複素積分が0になる
留数定理	Ch 10	実積分を計算する
開写像定理	Ch 5	全射な有界線形写像

認知ツールのリファレンス

ツールのドキュメント全文については、.claude/skills/math-mode/SKILL.mdを参照してください。