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対称群識別

対称群が分かれば、どの等変アーキテクチャパターンを使用すべきかが分かります。このスキルでは、識別された変換を群論の言葉で定式化します。

ワークフロー

このチェックリストをコピーして、進捗を記録してください。

Group Identification Progress:
- [ ] Step 1: List symmetries from discovery phase
- [ ] Step 2: Classify each as discrete or continuous
- [ ] Step 3: Match to specific groups using taxonomy
- [ ] Step 4: Determine how groups combine
- [ ] Step 5: Verify group properties
- [ ] Step 6: Document final group specification

ステップ 1：発見フェーズで見つかった対称性を列挙する

発見フェーズで見つかった対称性を集めます。識別された変換をそれぞれ列挙し、不変性と等変性のどちらが必要かを記します。確信度も記録します。まだ対称性が見つかっていない場合は、まずユーザーと協力して、領域分析を通じて特定します。

ステップ 2：それぞれを離散または連続に分類する

対称性ごとに、変換の集合が有限（離散）か無限（連続）かを判断します。離散の例：90°回転（要素数 4）、n 個の項目の置換（要素数 n!）。連続の例：任意の角度の回転、任意の距離の平行移動。分類の指針として、群の分類を参照してください。数学的基礎については、群論入門を参照してください。

ステップ 3：分類に基づいて具体的な群を特定する

離散群と連続群（リー群）のリファレンスセクションを使用します。対称性ごとに、具体的な群の名称と記法を特定します。よくある対応例：n 回回転 → Cₙ、回転＋反射 → Dₙ、置換 → Sₙ、3D 回転 → SO(3)、剛体運動 → SE(3)、全ユークリッド群 → E(3)。リー群（SO(3)、SE(3)、E(3)）の詳細については、リー群リファレンスを参照してください。

ステップ 4：群の結合方法を決定する

複数の対称性が存在する場合、それらの結合方法を決定します。直積（G × H）：対称性が独立して作用します。半直積（G ⋊ H）：一方の対称性がもう一方を「ねじります」（例：SE(3) = SO(3) ⋊ ℝ³）。群の結合のリファレンスを使用してください。

ステップ 5：群の性質を検証する

特定した構造が群の公理（閉包性、結合性、単位元、逆元）を満たしているか確認します。重要な性質も検証します。コンパクトですか？（表現論に影響します。）アーベル群ですか？（可換かどうか。）連結ですか？（実装に影響します。）群の性質チェックリストを使用してください。詳細な検証方法については、方法論を参照してください。

ステップ 6：最終的な群の仕様を文書化する

出力テンプレートを使用して仕様を作成します。群の名称／記法、次元／要素数、主要な性質、不変性と等変性の要件、推奨するアーキテクチャファミリーを含めます。この仕様がアーキテクチャ設計の基礎となります。この出力の品質基準は、品質評価基準で定義されています。

群の分類

概要図

                    SYMMETRY GROUPS
                          │
          ┌───────────────┴───────────────┐
          │                               │
     DISCRETE                        CONTINUOUS
          │                          (Lie Groups)
          │                               │
    ┌─────┼─────┐               ┌────────┼────────┐
    │     │     │               │        │        │
  Cyclic Dihedral Symmetric   SO(n)   SE(n)    E(n)
   Cₙ     Dₙ      Sₙ         rotations rigid   Euclidean
                              only    motions  (w/ reflect)

クイックリファレンステーブル

対称性の種類	群	記法	要素数	一般的な用途
n 回回転	巡回群	Cₙ	n	画像の回転（90°、60°）
回転＋反射	二面体群	Dₙ	2n	正多角形
置換	対称群	Sₙ	n!	集合、グラフ
2D 回転（連続）	特殊直交群	SO(2)	∞	連続回転
3D 回転	特殊直交群	SO(3)	∞	3D の向き
3D 剛体運動	特殊ユークリッド群	SE(3)	∞	ロボティクス、分子
反射を含む 3D 変換	ユークリッド群	E(3)	∞	化学、物理学

離散群

巡回群（Cₙ）

表すもの：360°/n の整数倍の回転

要素：{e, r, r², ..., rⁿ⁻¹}（rⁿ = e、e は単位元）

群	回転	例
C₂	0°、180°	トランプ
C₄	0°、90°、180°、270°	正方形の画像
C₆	60°刻み	六角形パターン

使用する場合：回転対称性はあるが、反射対称性はない場合。

二面体群（Dₙ）

表すもの：正 n 角形の回転と反射

要素：n 個の回転 + n 個の反射 = 合計 2n 個

群	要素数	例
D₄	8	対角線を含む正方形（p4m 群）
D₆	12	正六角形

使用する場合：回転対称性と反射対称性の両方がある場合。

対称群（Sₙ）

表すもの：n 個の要素すべての順列

要素：n! 個の順列

使用する場合：要素の順序が任意の場合（集合、グラフ、点群）。

連続群（リー群）

SO(2) - 2D 回転

要素：θ ∈ [0, 2π) の任意の角度による回転

行列形式：R(θ) = [[cos θ, -sin θ], [sin θ, cos θ]]

使用する場合：2D における連続回転対称性。

SO(3) - 3D 回転

要素：3D におけるすべての回転（自由度 3）

表現：回転行列、クォータニオン、オイラー角、軸角表現

使用する場合：3D の向きは問わないが、利き手性は考慮する場合。

SE(3) - 3D 剛体運動

要素：3D における回転 + 平行移動

構造：SE(3) = SO(3) ⋊ ℝ³（半直積）

使用する場合：物体が任意の位置と向きにあり得て、利き手性を考慮する場合。

E(3) - 完全ユークリッド群

要素：SE(3) + 反射

構造：E(3) = O(3) ⋊ ℝ³

使用する場合：SE(3) 対称性に加えて反射対称性もある場合（ほとんどの分子）。

群の階層

E(3) = O(3) ⋊ ℝ³
    │ exclude reflections
    ▼
SE(3) = SO(3) ⋊ ℝ³
    │ exclude translations
    ▼
SO(3)
    │ 2D restriction
    ▼
SO(2)

群の組み合わせ

直積（G × H）

使用する場合：対称性が互いに独立して作用する場合（片方がもう片方に影響しません）。

例：平行移動と色の置換が別々に作用する画像 → SE(2) × S₃

性質：(g₁, h₁) · (g₂, h₂) = (g₁g₂, h₁h₂)

半直積（G ⋊ H）

使用する場合：一方の対称性がもう一方に「ねじれ」を加える場合（可換ではありません）。

例：SE(3) = SO(3) ⋊ ℝ³（回転してから平行移動することと、平行移動してから回転することは異なります）

一般的なケース：SE(n) = SO(n) ⋊ ℝⁿ、E(n) = O(n) ⋊ ℝⁿ、Dₙ = Cₙ ⋊ C₂

群の性質チェックリスト

特定した群について、以下を確認してください。

性質	確認事項	重要な理由
コンパクト	群は「有界」ですか？	表現論に影響します
アーベル	演算の順序は重要ですか？（g₁g₂ = g₂g₁？）	アーキテクチャを簡素化します
連結	群はひとまとまりですか？	既約表現に影響します
有限	要素数は有限ですか？	離散型か連続型かのアーキテクチャに関わります

分野ごとの群の選択

分野	代表的な群	備考
2D 画像分類	C₄ または D₄	p4 または p4m 群
3D 分子エネルギー	E(3) × Sₙ	完全ユークリッド群 + 原子の置換
3D 分子キラリティ	SE(3) × Sₙ	反射なし
点群分類	SO(3) × Sₙ	回転 + 置換
グラフ分類	Sₙ	置換不変
ロボティクス	SE(3)	重力制約を加える場合もあります

出力テンプレート

SYMMETRY GROUP SPECIFICATION
============================

Identified Symmetries:
1. [Symmetry] → Group: [name] ([notation])
2. [Symmetry] → Group: [name] ([notation])

Combined Group Structure:
- Full group: [G₁ × G₂] or [G₁ ⋊ G₂]
- Size: [# elements] or [continuous]

Group Properties:
- Compact: [Yes/No]
- Abelian: [Yes/No]
- Connected: [Yes/No]

Symmetry Requirements:
- [Group]: [Invariant/Equivariant] for [task type]

Recommended Architecture Family:
- [Architecture] supporting [group]

NEXT STEPS:
- Empirically validate symmetry hypotheses if not yet confirmed
- Design equivariant architecture based on group specification