sympy

SymPy - Python による記号数学

概要

SymPy は記号数学のための Python ライブラリであり、数値近似ではなく数学記号を用いた厳密な計算を可能にします。このスキルは、SymPy を用いた記号代数、微積分、線形代数、方程式の求解、物理計算、コード生成を行うための包括的なガイダンスを提供します。

このスキルを使用する場合

次のような場合にこのスキルを使用します:

• 方程式を記号的に解く(代数方程式、微分方程式、連立方程式)
• 微積分の演算を行う(導関数、積分、極限、級数)
• 代数式を操作・簡約する
• 行列と線形代数を記号的に扱う
• 物理計算を行う(力学、量子力学、ベクトル解析)
• 数論の計算を行う(素数、因数分解、剰余算術)
• 幾何計算を行う(2次元/3次元幾何、解析幾何)
• 数学式を実行可能なコード(Python、C、Fortran)に変換する
• LaTeX などの書式付き数学出力を生成する
• 厳密な数学的結果が必要な場合(例: 1.414... ではなく sqrt(2))

主な機能

1. 記号計算の基礎

記号と式の作成:

from sympy import symbols, Symbol
x, y, z = symbols('x y z')
expr = x**2 + 2*x + 1

# With assumptions
x = symbols('x', real=True, positive=True)
n = symbols('n', integer=True)

簡約と操作:

from sympy import simplify, expand, factor, cancel
simplify(sin(x)**2 + cos(x)**2)  # Returns 1
expand((x + 1)**3)  # x**3 + 3*x**2 + 3*x + 1
factor(x**2 - 1)    # (x - 1)*(x + 1)

基礎の詳細: references/core-capabilities.md を参照してください。

2. 微積分

導関数:

from sympy import diff
diff(x**2, x)        # 2*x
diff(x**4, x, 3)     # 24*x (third derivative)
diff(x**2*y**3, x, y)  # 6*x*y**2 (partial derivatives)

積分:

from sympy import integrate, oo
integrate(x**2, x)              # x**3/3 (indefinite)
integrate(x**2, (x, 0, 1))      # 1/3 (definite)
integrate(exp(-x), (x, 0, oo))  # 1 (improper)

極限と級数:

from sympy import limit, series
limit(sin(x)/x, x, 0)  # 1
series(exp(x), x, 0, 6)  # 1 + x + x**2/2 + x**3/6 + x**4/24 + x**5/120 + O(x**6)

微積分演算の詳細: references/core-capabilities.md を参照してください。

3. 方程式の求解

代数方程式:

from sympy import solveset, solve, Eq
solveset(x**2 - 4, x)  # {-2, 2}
solve(Eq(x**2, 4), x)  # [-2, 2]

連立方程式:

from sympy import linsolve, nonlinsolve
linsolve([x + y - 2, x - y], x, y)  # {(1, 1)} (linear)
nonlinsolve([x**2 + y - 2, x + y**2 - 3], x, y)  # (nonlinear)

微分方程式:

from sympy import Function, dsolve, Derivative
f = symbols('f', cls=Function)
dsolve(Derivative(f(x), x) - f(x), f(x))  # Eq(f(x), C1*exp(x))

求解法の詳細: references/core-capabilities.md を参照してください。

4. 行列と線形代数

行列の作成と演算:

from sympy import Matrix, eye, zeros
M = Matrix([[1, 2], [3, 4]])
M_inv = M**-1  # Inverse
M.det()        # Determinant
M.T            # Transpose

固有値と固有ベクトル:

eigenvals = M.eigenvals()  # {eigenvalue: multiplicity}
eigenvects = M.eigenvects()  # [(eigenval, mult, [eigenvectors])]
P, D = M.diagonalize()  # M = P*D*P^-1

線形システムの求解:

A = Matrix([[1, 2], [3, 4]])
b = Matrix([5, 6])
x = A.solve(b)  # Solve Ax = b

包括的な線形代数: references/matrices-linear-algebra.md を参照してください。

5. 物理学と力学

古典力学:

from sympy.physics.mechanics import dynamicsymbols, LagrangesMethod
from sympy import symbols

# Define system
q = dynamicsymbols('q')
m, g, l = symbols('m g l')

# Lagrangian (T - V)
L = m*(l*q.diff())**2/2 - m*g*l*(1 - cos(q))

# Apply Lagrange's method
LM = LagrangesMethod(L, [q])

ベクトル解析:

from sympy.physics.vector import ReferenceFrame, dot, cross
N = ReferenceFrame('N')
v1 = 3*N.x + 4*N.y
v2 = 1*N.x + 2*N.z
dot(v1, v2)  # Dot product
cross(v1, v2)  # Cross product

量子力学:

from sympy.physics.quantum import Ket, Bra, Commutator
psi = Ket('psi')
A = Operator('A')
comm = Commutator(A, B).doit()

物理機能の詳細: references/physics-mechanics.md を参照してください。

6. 高度な数学

このスキルには、次の包括的なサポートが含まれます:

• 幾何: 2次元/3次元解析幾何、点、直線、円、多角形、変換
• 数論: 素数、因数分解、GCD/LCM、剰余算術、ディオファントス方程式
• 組合せ論: 順列、組合せ、分割、群論
• 論理と集合: ブール論理、集合論、有限集合と無限集合
• 統計: 確率分布、確率変数、期待値、分散
• 特殊関数: ガンマ関数、ベッセル関数、直交多項式、超幾何関数
• 多項式: 多項式代数、根、因数分解、グレブナー基底

高度なトピックの詳細: references/advanced-topics.md を参照してください。

7. コード生成と出力

実行可能な関数への変換:

from sympy import lambdify
import numpy as np

expr = x**2 + 2*x + 1
f = lambdify(x, expr, 'numpy')  # Create NumPy function
x_vals = np.linspace(0, 10, 100)
y_vals = f(x_vals)  # Fast numerical evaluation

C/Fortran コードの生成:

from sympy.utilities.codegen import codegen
[(c_name, c_code), (h_name, h_header)] = codegen(
    ('my_func', expr), 'C'
)

LaTeX 出力:

from sympy import latex
latex_str = latex(expr)  # Convert to LaTeX for documents

包括的なコード生成: references/code-generation-printing.md を参照してください。

SymPy 利用のベストプラクティス

1. まず記号を定義する

from sympy import symbols
x, y, z = symbols('x y z')
# Now x, y, z can be used in expressions

2. 仮定を使ってより良い簡約を行う

x = symbols('x', positive=True, real=True)
sqrt(x**2)  # Returns x (not Abs(x)) due to positive assumption

一般的な仮定: real、positive、negative、integer、rational、complex、even、odd

3. 厳密演算を使用する

from sympy import Rational, S
# Correct (exact):
expr = Rational(1, 2) * x
expr = S(1)/2 * x

# Incorrect (floating-point):
expr = 0.5 * x  # Creates approximate value

4. 必要に応じて数値評価を行う

from sympy import pi, sqrt
result = sqrt(8) + pi
result.evalf()    # 5.96371554103586
result.evalf(50)  # 50 digits of precision

5. 性能のために NumPy に変換する

# Slow for many evaluations:
for x_val in range(1000):
    result = expr.subs(x, x_val).evalf()

# Fast:
f = lambdify(x, expr, 'numpy')
results = f(np.arange(1000))

6. 適切なソルバーを使用する

• solveset: 代数方程式(主要)
• linsolve: 線形連立方程式
• nonlinsolve: 非線形連立方程式
• dsolve: 微分方程式
• solve: 汎用(レガシーだが柔軟)

参照ファイルの構成

このスキルでは、機能ごとに用途の異なるモジュール式の参照ファイルを使用します。

1. core-capabilities.md: 記号、代数、微積分、簡約化、方程式の求解

   • 読み込むタイミング: 基本的な記号計算、微積分、または方程式を解く場合

2. matrices-linear-algebra.md: 行列演算、固有値、連立一次方程式

   • 読み込むタイミング: 行列または線形代数の問題を扱う場合

3. physics-mechanics.md: 古典力学、量子力学、ベクトル、単位

   • 読み込むタイミング: 物理計算または力学の問題を扱う場合

4. advanced-topics.md: 幾何学、数論、組合せ論、論理、統計

   • 読み込むタイミング: 基本的な代数と微積分を超える高度な数学トピックを扱う場合

5. code-generation-printing.md: Lambdify、コード生成、LaTeX 出力、印刷

   • 読み込むタイミング: 式をコードに変換する場合、または整形された出力を生成する場合

一般的なユースケースのパターン

パターン 1: 求解と検証

from sympy import symbols, solve, simplify
x = symbols('x')

# Solve equation
equation = x**2 - 5*x + 6
solutions = solve(equation, x)  # [2, 3]

# Verify solutions
for sol in solutions:
    result = simplify(equation.subs(x, sol))
    assert result == 0

パターン 2: 記号から数値へのパイプライン

# 1. Define symbolic problem
x, y = symbols('x y')
expr = sin(x) + cos(y)

# 2. Manipulate symbolically
simplified = simplify(expr)
derivative = diff(simplified, x)

# 3. Convert to numerical function
f = lambdify((x, y), derivative, 'numpy')

# 4. Evaluate numerically
results = f(x_data, y_data)

パターン 3: 数学的結果の文書化

# Compute result symbolically
integral_expr = Integral(x**2, (x, 0, 1))
result = integral_expr.doit()

# Generate documentation
print(f"LaTeX: {latex(integral_expr)} = {latex(result)}")
print(f"Pretty: {pretty(integral_expr)} = {pretty(result)}")
print(f"Numerical: {result.evalf()}")

科学ワークフローとの統合

NumPy との統合

import numpy as np
from sympy import symbols, lambdify

x = symbols('x')
expr = x**2 + 2*x + 1

f = lambdify(x, expr, 'numpy')
x_array = np.linspace(-5, 5, 100)
y_array = f(x_array)

Matplotlib との統合

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from sympy import symbols, lambdify, sin

x = symbols('x')
expr = sin(x) / x

f = lambdify(x, expr, 'numpy')
x_vals = np.linspace(-10, 10, 1000)
y_vals = f(x_vals)

plt.plot(x_vals, y_vals)
plt.show()

SciPy との統合

from scipy.optimize import fsolve
from sympy import symbols, lambdify

# Define equation symbolically
x = symbols('x')
equation = x**3 - 2*x - 5

# Convert to numerical function
f = lambdify(x, equation, 'numpy')

# Solve numerically with initial guess
solution = fsolve(f, 2)

クイックリファレンス: 最もよく使う関数

# Symbols
from sympy import symbols, Symbol
x, y = symbols('x y')

# Basic operations
from sympy import simplify, expand, factor, collect, cancel
from sympy import sqrt, exp, log, sin, cos, tan, pi, E, I, oo

# Calculus
from sympy import diff, integrate, limit, series, Derivative, Integral

# Solving
from sympy import solve, solveset, linsolve, nonlinsolve, dsolve

# Matrices
from sympy import Matrix, eye, zeros, ones, diag

# Logic and sets
from sympy import And, Or, Not, Implies, FiniteSet, Interval, Union

# Output
from sympy import latex, pprint, lambdify, init_printing

# Utilities
from sympy import evalf, N, nsimplify

入門の例

例 1: 二次方程式を解く

from sympy import symbols, solve, sqrt
x = symbols('x')
solution = solve(x**2 - 5*x + 6, x)
# [2, 3]

例 2: 導関数を計算する

from sympy import symbols, diff, sin
x = symbols('x')
f = sin(x**2)
df_dx = diff(f, x)
# 2*x*cos(x**2)

例 3: 積分を評価する

from sympy import symbols, integrate, exp
x = symbols('x')
integral = integrate(x * exp(-x**2), (x, 0, oo))
# 1/2

例 4: 行列の固有値

from sympy import Matrix
M = Matrix([[1, 2], [2, 1]])
eigenvals = M.eigenvals()
# {3: 1, -1: 1}

例 5: Python 関数を生成する

from sympy import symbols, lambdify
import numpy as np
x = symbols('x')
expr = x**2 + 2*x + 1
f = lambdify(x, expr, 'numpy')
f(np.array([1, 2, 3]))
# array([ 4,  9, 16])

よくある問題のトラブルシューティング

1. "NameError: name 'x' is not defined"

   • 解決策: 使用する前に、必ず symbols() で記号を定義してください

2. 数値結果が想定と異なる

   • 原因: 0.5 のような浮動小数点数を、Rational(1, 2) ではなく使用している
   • 解決策: 厳密な演算には Rational() または S() を使用してください

3. ループ内での性能低下

   • 原因: subs() と evalf() を繰り返し使用している
   • 解決策: lambdify() を使って高速な数値関数を作成してください

4. "Can't solve this equation"

   • 別のソルバーを試してください: solve、solveset、nsolve（数値解法）
   • 方程式が代数的に解けるかどうかを確認してください
   • 閉じた形の解が存在しない場合は、数値解法を使用してください

5. 簡約化が期待どおりに動作しない

   • 別の簡約化関数を試してください: simplify、factor、expand、trigsimp
   • 記号に仮定を追加してください（例: positive=True）
   • 積極的な簡約化には simplify(expr, force=True) を使用してください

追加リソース

• 公式ドキュメント: https://docs.sympy.org/
• チュートリアル: https://docs.sympy.org/latest/tutorials/intro-tutorial/index.html
• API リファレンス: https://docs.sympy.org/latest/reference/index.html
• サンプル: https://github.com/sympy/sympy/tree/master/examples