sympy

SymPy - Python における記号数学

概要

SymPy は、数値近似ではなく数学記号を使って厳密な計算を行うための、記号数学用 Python ライブラリです。このスキルでは、SymPy を使った記号代数、微積分、線形代数、方程式の求解、物理計算、コード生成について包括的に説明します。

インストール

SymPy 1.14.0（安定版、2025年4月）でテスト済みです。Python 3.9+ が必要です。

# Install SymPy using uv
uv pip install "sympy>=1.14"

# Optional: for lambdify and plotting examples
uv pip install numpy scipy matplotlib

バージョンを確認します。

import sympy
print(sympy.__version__)

このスキルを使用する場面

次のような場合に、このスキルを使用します。

• 方程式を記号的に解く（代数方程式、微分方程式、連立方程式）
• 微積分演算を行う（導関数、積分、極限、級数）
• 代数式を操作し、簡約する
• 行列や線形代数を記号的に扱う
• 物理計算を行う（力学、量子力学、ベクトル解析）
• 数論計算を行う（素数、因数分解、剰余演算）
• 幾何計算を行う（2D／3D 幾何学、解析幾何学）
• 数式を実行可能なコードに変換する（Python、C、Fortran）
• LaTeX やその他の形式で数式を出力する
• 厳密な数学的結果が必要な場合（例：1.414... ではなく sqrt(2)）

主な機能

7つの機能分野については、 references/core_capabilities.md に記載されています。

1. 記号計算の基礎 — 記号、式、簡約、代入。
2. 微積分 — 微分、積分、極限、級数。
3. 方程式の求解 — solve、solveset、線形および非線形の連立方程式、ODE。
4. 行列と線形代数 — 詳しくは references/matrices-linear-algebra.md を参照してください。
5. 物理学と力学 — 詳しくは references/physics-mechanics.md を参照してください。
6. 高度な数学 — 詳しくは references/advanced-topics.md を参照してください。
7. コード生成と出力 — 詳しくは references/code-generation-printing.md を参照してください。

最初の3項目についての詳しい説明は、 references/core-capabilities.md にあります。

SymPy の使用方法：ベストプラクティス

1. まず記号を定義する

from sympy import symbols
x, y, z = symbols('x y z')
# Now x, y, z can be used in expressions

2. より適切に簡約するために仮定を使う

x = symbols('x', positive=True, real=True)
sqrt(x**2)  # Returns x (not Abs(x)) due to positive assumption

よく使う仮定：real、positive、negative、integer、rational、complex、even、odd

3. 厳密演算を使う

from sympy import Rational, S
# Correct (exact):
expr = Rational(1, 2) * x
expr = S(1)/2 * x

# Incorrect (floating-point):
expr = 0.5 * x  # Creates approximate value

4. 必要に応じて数値評価を行う

from sympy import pi, sqrt
result = sqrt(8) + pi
result.evalf()    # 5.96371554103586
result.evalf(50)  # 50 digits of precision

5. パフォーマンス向上のため NumPy に変換する

# Slow for many evaluations:
for x_val in range(1000):
    result = expr.subs(x, x_val).evalf()

# Fast:
f = lambdify(x, expr, 'numpy')
results = f(np.arange(1000))

6. 適切なソルバーを使う

• solveset：代数方程式（第一選択）
• linsolve：線形連立方程式
• nonlinsolve：非線形連立方程式
• dsolve：微分方程式
• solve：汎用（レガシーですが柔軟です）

リファレンスファイルの構成

このスキルでは、機能ごとにモジュール化されたリファレンスファイルを使用します。

1. core-capabilities.md：記号、代数、微積分、簡約、方程式の求解

   • 読み込む場面：基本的な記号計算、微積分、または方程式を解く場合

2. matrices-linear-algebra.md：行列演算、固有値、線形連立方程式

   • 読み込む場面：行列や線形代数の問題を扱う場合

3. physics-mechanics.md：古典力学、量子力学、ベクトル、単位

   • 読み込む場面：物理計算や力学の問題を扱う場合

4. advanced-topics.md：幾何学、数論、組み合わせ論、論理、統計

   • 読み込む場面：基本的な代数や微積分を超える高度な数学のトピックを扱う場合

5. code-generation-printing.md：Lambdify、コード生成、LaTeX 出力、印字

   • 読み込む場面：式をコードに変換する場合や、整形された出力を生成する場合

よくある使用パターン

パターン 1：解いて検証する

from sympy import symbols, solve, simplify
x = symbols('x')

# Solve equation
equation = x**2 - 5*x + 6
solutions = solve(equation, x)  # [2, 3]

# Verify solutions
for sol in solutions:
    result = simplify(equation.subs(x, sol))
    assert result == 0

パターン 2：記号から数値への処理フロー

# 1. Define symbolic problem
x, y = symbols('x y')
expr = sin(x) + cos(y)

# 2. Manipulate symbolically
simplified = simplify(expr)
derivative = diff(simplified, x)

# 3. Convert to numerical function
f = lambdify((x, y), derivative, 'numpy')

# 4. Evaluate numerically
results = f(x_data, y_data)

パターン 3：数学的な結果を文書化する

# Compute result symbolically
integral_expr = Integral(x**2, (x, 0, 1))
result = integral_expr.doit()

# Generate documentation
print(f"LaTeX: {latex(integral_expr)} = {latex(result)}")
print(f"Pretty: {pretty(integral_expr)} = {pretty(result)}")
print(f"Numerical: {result.evalf()}")

科学計算ワークフローとの統合

NumPy との連携

import numpy as np
from sympy import symbols, lambdify

x = symbols('x')
expr = x**2 + 2*x + 1

f = lambdify(x, expr, 'numpy')
x_array = np.linspace(-5, 5, 100)
y_array = f(x_array)

Matplotlib との連携

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from sympy import symbols, lambdify, sin

x = symbols('x')
expr = sin(x) / x

f = lambdify(x, expr, 'numpy')
x_vals = np.linspace(-10, 10, 1000)
y_vals = f(x_vals)

plt.plot(x_vals, y_vals)
plt.show()

SciPy との連携

from scipy.optimize import fsolve
from sympy import symbols, lambdify

# Define equation symbolically
x = symbols('x')
equation = x**3 - 2*x - 5

# Convert to numerical function
f = lambdify(x, equation, 'numpy')

# Solve numerically with initial guess
solution = fsolve(f, 2)

クイックリファレンス：最もよく使われる関数

# Symbols
from sympy import symbols, Symbol
x, y = symbols('x y')

# Basic operations
from sympy import simplify, expand, factor, collect, cancel
from sympy import sqrt, exp, log, sin, cos, tan, pi, E, I, oo

# Calculus
from sympy import diff, integrate, limit, series, Derivative, Integral

# Solving
from sympy import solve, solveset, linsolve, nonlinsolve, dsolve

# Matrices
from sympy import Matrix, eye, zeros, ones, diag

# Logic and sets
from sympy import And, Or, Not, Implies, FiniteSet, Interval, Union

# Output
from sympy import latex, pprint, lambdify, init_printing

# Utilities
from sympy import evalf, N, nsimplify

はじめに：使用例

例 1：二次方程式を解く

from sympy import symbols, solve, sqrt
x = symbols('x')
solution = solve(x**2 - 5*x + 6, x)
# [2, 3]

例 2：導関数を計算する

from sympy import symbols, diff, sin
x = symbols('x')
f = sin(x**2)
df_dx = diff(f, x)
# 2*x*cos(x**2)

例 3：積分を評価する

from sympy import symbols, integrate, exp
x = symbols('x')
integral = integrate(x * exp(-x**2), (x, 0, oo))
# 1/2

例 4：行列の固有値

from sympy import Matrix
M = Matrix([[1, 2], [2, 1]])
eigenvals = M.eigenvals()
# {3: 1, -1: 1}

例 5：Python 関数を生成する

from sympy import symbols, lambdify
import numpy as np
x = symbols('x')
expr = x**2 + 2*x + 1
f = lambdify(x, expr, 'numpy')
f(np.array([1, 2, 3]))
# array([ 4,  9, 16])

よくある問題のトラブルシューティング

1. 「NameError: name 'x' is not defined」

   • 解決策：使用する前に、必ず symbols() を使ってシンボルを定義します

2. 予期しない数値結果

   • 問題：Rational(1, 2) ではなく、0.5 のような浮動小数点数を使用している
   • 解決策：厳密な計算には Rational() または S() を使用します

3. ループ内で処理が遅い

   • 問題：subs() と evalf() を繰り返し使用している
   • 解決策：lambdify() を使って高速な数値関数を作成します

4. 「この方程式を解けません」

   • 別のソルバーを試します：solve、solveset、nsolve（数値計算）
   • 方程式が代数的に解けるか確認します
   • 閉形式の解が存在しない場合は、数値計算の手法を使用します

5. 簡約が期待どおりに動作しない

   • 別の簡約関数を試します：simplify、factor、expand、trigsimp
   • シンボルに仮定を追加します（例：positive=True）
   • より強力な簡約には simplify(expr, force=True) を使用します

その他のリソース

• 公式ドキュメント：https://docs.sympy.org/
• チュートリアル：https://docs.sympy.org/latest/tutorials/intro-tutorial/index.html
• API リファレンス：https://docs.sympy.org/latest/reference/index.html
• 使用例：https://github.com/sympy/sympy/tree/master/examples

エージェントの実行手順

1. 環境を確認します。 Python 環境とライブラリのバージョン（python -c "import pkg; print(pkg.__version__)"）を確認し、データの形状、型、欠損値を調べます。
2. 入力内容を明確にします。 データまたはユーザーに確認し、形式、識別子、パラメーターを確定します。結果を変える値については、推測せずに質問します。
3. まず小規模に実行します。 サンプルまたは単一のフォールドで実行し、実行時間とメモリ使用量を確認します。
4. 上記の指示と参考資料を使って、タスク全体を実行します。
5. 結果を検証します。 ホールドアウトデータ、固定した乱数シード、適切な指標を使用し、データ漏洩がないか確認します。不確実性（信頼区間、シード間の標準偏差）を報告します。
6. 報告します。 実行した内容（バージョン、コマンド、パラメーター）、確認した内容、未解決の不確実性を明記します。

このような場合	対応方法
メモリ不足、または実行が非常に遅い	サブサンプリングする、チャンク処理または遅延計算を使う、あるいはモデルサイズを縮小し、変更内容をユーザーに伝えます。
これらの手順に記載された関数、フラグ、エンドポイントがインストール済みバージョンにない	インストール済みバージョンのドキュメント（help()、--help、公式ドキュメント）を確認し、適応させてユーザーに伝えます。API を捏造してはいけません。
必須の入力、識別子、またはパラメーターが曖昧	ユーザーに質問するか、実行前に仮定を明示します。

インテグリティに関するルール

• 結果、パラメーター、識別子、引用、統計値を捏造してはいけません。実行または検証できない場合は、明確にそう伝えます。
• このセッションで計算していない指標を報告してはいけません。すべての数値について、それを生成したコードの処理経路を示します。
• ここに記載されているバージョン固有の詳細は古くなっている可能性があるものとして扱い、インストール済みバージョンの公式ドキュメントで確認します。
• 費用が発生する、共有 GPU やクラウドのクォータを消費する、個人データや患者データを扱う、または取り消せない操作を行う前には、ユーザーに確認します。