Equation.io

Equation.io

equation.io — 一款内置 CAS 的绘图计算器。输入方程，它们会编译成 GPU 着色器，并渲染为 2D 曲线、3D 曲面、向量场、ODE 相图、概率密度等。每张图都完全保存在其 URL 中，因此地址栏就是分享按钮。

graph.tk 的故事

这是 graph.tk 的继任项目。graph.tk 于 2010 年 5 月在此仓库中启动，最初是一款基于 HTML5 画布的绘图工具，多年来获得了 400 多颗星。网站运行在免费的 .tk 域名上——后来证明这是致命缺陷：注册商（Freenom）最终接管了该域名并在上面投放广告；Meta 起诉 Freenom 后，整个 .tk 注册局也随之崩溃，该域名彻底无法解析。

我们吸取了教训，从头重建了绘图工具——采用全新的解析器和 CAS，并使用 WebGL 替代画布进行渲染——运行在一个真正归我们所有的域名上：equation.io。原始代码保存在 legacy 分支（标签 graph.tk-final）中，遵循原有的 LGPL-3.0 条款；main 分支中的所有内容都是以 MIT 许可发布的全新重写版本。旧版界面仍可在 graph.equation.io 使用。

架构

部署为 Cloudflare Worker。页面位于 web/；数学功能位于 lib/。

• lib/expr.ts 包含分词器、调度场解析器和表达式树。lib/defs.ts 负责解析名称和定义。解析时的展开逻辑与其实现的数学功能放在一起：vector-calculus.ts（梯度、散度、旋度）、sums.ts（Σ 和 Π），以及 integrate.ts、curves.ts 和 surface-geometry.ts 中的积分、曲线和曲面处理流程。
• 分布相关代码位于 lib/dist.ts。它重新导出基本分布（dist-base.ts）、连续采样（dist-sample.ts）、离散分布（dist-discrete.ts）和随机变量系统（dist-system.ts）。分布族表位于 dist-families.ts。
• 几何、张量、测度、列表和自动机组成了 lib/ 的其余部分：geom.ts、pga.ts、clifford.ts、tensor.ts、measure.ts、list.ts、automaton.ts 及其旁边的模块。compiler.ts 将分类后的行转换为 CPU 计划和 GLSL 计划（glsl.ts）。
• web/main.ts 是方程编辑器和启动入口。web/session.ts 管理文档、面板和共享的 WebGL 渲染器。web/scene.ts 构建单帧并将其交给 2D 和 3D 渲染器。这三者共享的可变状态位于 web/app-state.ts。
• 每个方程都会编译为 GLSL 标量场 F，其零点集就是图像：
  • 2D：全屏四边形片元着色器；当距离估计值 |F|/|∇F| 小于一个像素时绘制曲线，并通过双尺度一致性测试排除极点／渐近线处的假线（例如 y=tan(x)）。
  • 3D（出现 z 时自动启用）：射线步进隐式曲面——沿每条射线检测符号变化、通过二分法细化、使用有限差分计算法线，并设置 gl_FragDepth 以确保多个曲面能正确相交。不含 z 的方程会沿 R³ 中的真实轨迹延展。

整个图像状态都保存在 URL 中（/g/eq1;eq2;…，每个方程通过 lib/link.ts 进行百分号编码；该模块还会转义括号，避免聊天应用的链接识别器截断 URL；旧版 /#… 链接仍可加载），因此任意方程组都可以通过链接分享，地址栏就是分享方式。 面向 Agent 的接口：

• /llms.txt — 链接格式和表达式语法参考 （web/public/llms.txt）
• /g/<eqs> — 图像链接的分享形式；Worker 会注入 og:/twitter: 元标签（将图像中的方程作为标题，显示在网站卡片上）
• /mcp — 无状态 MCP 服务（Streamable HTTP），提供 encode_graph_url（验证行并返回链接）、decode_graph_url（解码链接以便编辑）和 show_graph（在 MCP Apps 宿主中渲染交互式绘图器）。 请参阅 MCP Apps 集成与测试。
• /.well-known/ard.json（也可通过旧版 /.well-known/ai-catalog.json 访问） — Agentic Resource Discovery 目录，列出 MCP 服务；/mcp/server-card — 其 MCP Server Card。两者均由 server.json 生成，生成逻辑位于 worker/discovery.ts。

使用方法

pnpm web        # dev server (grapher + worker API)
pnpm test       # vitest
pnpm typecheck  # lib + web + worker
pnpm web:build  # build to dist-web/ (client + worker)
pnpm deploy     # build and deploy to Cloudflare

流量和 MCP 使用情况

pnpm traffic 7     # needs `wrangler login`

网站访客数据来自 Cloudflare 自带的区域分析功能。脚本每天按页面统计独立 IP 数，仅使用浏览器 User-Agent，并按客户端列出 /mcp POST 请求。网站上没有任何内容会收集这些数据。

MCP 工具调用是 Cloudflare 无法看到的唯一内容，因为它不会记录请求正文。worker/mcp-usage.ts 会为每次 tools/call 写入一个 Analytics Engine 数据点：包括工具、客户端、图像类型、行数和错误数，但绝不记录方程文本。设置具有 Account Analytics: Read 权限的 CLOUDFLARE_API_TOKEN，脚本才会纳入这些数据。

示例

基础用法

• y = x^2 · x^2+y^2=4 · y = tan(x) — 2D 曲线
• y = sin(2πx) · θ = 1; r = θ x · y = x³ — Unicode 输入：π、 希腊字母名称、上标指数、下标（T₀ ≡ T_0，因此 a₃ 是数列项），以及 ·/×/÷/≤/≥/≠； 在编辑器中，输入 \pi、\theta、\nabla、……会插入相应符号，而在任意函数名称前输入 \ 会直接将其去掉（\trail → trail）
• z = sin(x)cos(y) · x^2+y^2+z^2=9 — 3D 曲面（出现 z 时自动绘制）
• y < x/2 + 1 — 不等式会为其区域着色；严格不等式 </> 不显示 边界，<=/>= 会绘制边界线，像 4 <= x^2 + y^2 <= 9 这样的链式不等式会按每个非严格界限绘制边缘
• y = {x < 0: -x, x >= 0: x^2} — 分段函数：按顺序尝试 cond: value 条件，最后可选一个不带条件的值作为默认值；条件可以串联，例如 {0 < x < 1: 1, 0}，不带条件的值按 1 计（{x > 0, 5}）
• y = {0 < x < 2: x^2} — 定义域限制：没有默认值时，条件之外的值 未定义，因此不会在该处绘制
• sin(x)cos(y) — 只含 x、y 的裸表达式是 2D 标量场；正值区域以行颜色着色， 负值区域则以其补色着色。sin(x) 也属于标量场（沿 y 方向恒定）：曲线为 y = sin(x)
• 2+2、sqrt(a)、|A - B| — 裸数值不会绘制图形，而会在行下方显示 = 4，并随滑块和 t 实时更新；要绘制直线，请写 y = 4

滑块和动画

• a = 2 — 带滑块的命名常量；其他方程可以使用 a，它会编译为 uniform，因此拖动滑块时无需重新构建着色器。b = a^2 + t 定义一个计算得出的／动画常量
• a := 2、f(x) := x^2 — 显式写出的相同定义。:= 也可以将 e、pi、 i、w 或 t 作为值（而非函数）接管，并应用于整个图形（e := 0.6 是滑块； t := 0.5 会停止所有动画）；u 和 v 接受一个区间（u := interval(0, 2pi)）；x、y、z 和 d 仍是语言内置变量
• (2, 3) / (3, 12, 0) — 点。在 2D 中，可以在画布上拖动由普通数值 或滑块名称组成的坐标，拖动时会重写这些坐标： a = 1; b = 2; (a, b) 会移动两个滑块，(2sin(t), 3) 只会移动其字面量高度
• (2cos(t), 2sin(t)) — t 表示自加载以来经过的秒数，因此此点会绕圈运动

微积分

• f(x) = x^3 - a x — 用户定义函数，会以符号形式内联展开
• f(z) = {re(z) >= 1: 1, f(4 - 3(z^6)^(1/6))} 然后 f(x i - |y|) >= 0 — 尾递归函数（每次自调用都必须是其 {…} 中的完整分支） 会针对每个像素作为有界循环运行；此例会为科赫雪花着色
• y = d/dx f(x) / d^2/dx^2 (x^4) — 符号化莱布尼茨导数；适用于 任意单字母变量，可以嵌套，也能在函数定义中传递： g(x) = d/dx f(x) 然后 y = f(a) + g(a)(x - a) 会生成实时切线

概率

• X ~ Normal(0, a) — 随机变量；该行会绘制其概率密度，参数可以使用滑块。接着，P(X < b)、P(X > b) 或 P(-1 < X < 2) 会为密度曲线下的对应区域着色，并显示数值概率
• 还支持 Uniform(lo, hi)、Exponential(rate)、Gamma(shape, rate)、Beta(a, b)、 ChiSquared(df)、StudentT(df)（或 T(5)）、LogNormal(mu, sigma)、 Cauchy(location, scale)、Weibull(shape, scale) — 精确概率密度、精确的 P(…)，以及在重尾分布无法报告 σ 时显示的中位数／四分位距读数
• erf、normalpdf(x, mean, sd) 和 normalcdf(x, mean, sd) 也都是普通 函数，因此 y = normalcdf(x, 0, 1) 会绘制累积分布函数

向量场和常微分方程

• (-y, x)——一个依赖于 x、y 的元组，是一个向量场，通过 GPU 线积分卷积渲染为动态流线；t 也可以： (cos(t)-y, x)
• grad(x^2 + y^2)（或 ∇(…)）——符号梯度，以元组表示，因此会绘制为向量场，也可用于 dot(grad(f), (1, 0))
• dy/dx = x y / y' = sin(x) - y——ODE 会绘制斜率场／方向场 (1, f)；点击画布可在该点生成一条 RK4 积分曲线，双击可清除
• (x', y') = (y, -sin(x))——系统会绘制相图，同样可通过点击追踪轨迹

模拟（状态）

• th' = om（角度），om' = -sin(th)（角速度），且 th(0) = 3——一个状态：自定义名称后的撇号表示该变量对 t 的导数；图表动画播放时，变量会以固定步长通过 RK4 向前积分——参见 lib/state.ts。在其他所有场景中，th 都与常量完全一样，具有均匀性等特性，因此绘制系统就是普通绘图： (sin(th), -cos(th)) 表示摆球，(u sin(th), -u cos(th)) 表示摆杆。它是图表中唯一一个不是关于 t 的公式的值，这正是双摆（混沌且无闭式解）得以实现的关键。初始值会显示一个滑块，可重新启动运行；面板中的 ↻ 可重启运行
• r' = vel，vel' = -r/|r|^3，且 r(0) = (1, 0)——一个向量状态：导数为 2 或 3 维向量时，会按分量分别对 r_1、r_2（及 r_3）积分；裸名称会绘制为一个运动点，并参与点运算——在两行中表示一条轨道
• label((2, 4), "peak") / label(A, "vertex")——在点旁显示文本，颜色与所在行相同；点会像其他点一样随滑块和 t 移动
• y = x^2 #e24——以十六进制颜色开头的注释会使该行按此颜色绘制
• trail(A)——在 2D 或 3D 点后留下动态运动轨迹。 例如，A = (cos(t), sin(t)); trail(A) 会在运行时绘制一条轨道； trail((cos(t), sin(t), t/5)) 会绘制一条上升螺旋线。向量状态也适用。 轨迹最多保留 30 秒／2048 个观测位置；方程或模拟重启时会重置，并且仅限当前会话使用。
• p(0) = ([0..299]/30, 0, 0)——一个状态族：一组起始值会让系统针对每个元素各运行一次（最多 1024 次），与其耦合的状态也会随之运行。随后，p 会绘制一团运动点，mean(p_1) 会计算各次运行的均值。若从元组开始，p(0) = (sort([0..299])/30, 0, 0)，各次运行会按顺序排列，p[1] 表示第一次运行
• p(50..400)——一条轨道：表示状态在这些时刻之间的变化，会使用实时模拟自身的步长提前积分（lib/orbit.ts），使运动点沿轨道移动。状态族会为每次运行绘制一条路径（从元组开始运行时，p[1](50..400) 会绘制一条路径）；标量状态会绘制其随时间的变化曲线，th(0..20) 即曲线 (t, th)。两者结合时，Rössler 吸引子会呈现为一条细带状轨道，粒子沿其流动

自定义坐标与复数根

• r = sqrt(x^2+y^2); theta = atan2(y,x) 定义极坐标。 (r, theta) = (2, 9pi/4) 会绘制对应的点，角度会按 2π 取模。 使用右侧的字面值或滑块值，可在这些坐标中拖动该点。
• (r, theta) = (3u, 6pi u) 描绘一个三圈螺旋； (r', theta') = (r(1-r), 1) 会绘制极坐标极限环场。
• 1+2i 会绘制阿尔冈点；w^3 = 1 会绘制三个单位立方根。 系统会在当前视图中进行数值搜索；较小的解分支可能会遗漏。示例菜单中提供坐标示例。

矩阵

• M = ((a, b), (c, d))——由行组成的元组是一个 2×2 或 3×3 矩阵（元组的方括号形式 [(a, b), (c, d)] 表示两个点）；det(M)、trace(M)、矩阵向量乘法 M v 和 solve(M, v)（克莱姆法则）会在降级时进行符号展开，参见 lib/mat.ts。因此，(x', y') = A (x, y) 可以绘制一个可通过滑块调节矩阵各项的相图，而 om' = solve(M, f) 则会以推导出的拉格朗日形式 M(θ)ω′ = f 积分双摆

参数曲线和曲面

• (2cos(2pi u), 2sin(2pi u), 3u)——参数曲线，u ∈ (0,1)
• u^2——单独一行 u、v 中的表达式会绘制其取值：u 在 [0, 1] 上均匀分布时 u² 的密度
• (cos(2pi u)(2+cos(2pi v)), sin(2pi u)(2+cos(2pi v)), sin(2pi v))——参数曲面，u,v ∈ (0,1)；逐片元使用 Newton 法求射线与曲面的交点，并采用光泽镜面材质

序列和数据

• a_n = 1/n^2——一个序列：在整数 n ≥ 0 处绘制点；行上的 Σ 开关可切换为部分和 S_N（此序列收敛到 π²/6）
• a_{n+1} = r a_n (1 - a_n)——一个递推关系：绘制映射曲线、对角线 y = x，以及从初始值 a_0 开始的蛛网图路径（为滑块定义 a_0 = 0.2，默认值为 ½）。当右侧的 x 未定义时，x 会成为参数轴，图像则为轨道／分岔图： a_{n+1} = x a_n (1 - a_n) 是逻辑斯蒂分岔
• [3, 1, 4, 1, 5]——一个数据列表：在数轴上绘制点图，每个值位于 x = value，其重复项沿竖直方向堆叠（1 出现两次：点位于 (1, 1) 和 (1, 2)）。[(1, 2), (3, 4)] 是散点图

回归

• P = [(0, 1), (1, 3), (2, 5), (3, 7)]; P.y ~ m P.x + b 会拟合一条穿过这些点的直线。P.x 和 P.y 是这些点坐标组成的列表，按数据文件列的方式逐点配对（分别编写的两个列表 X、Y 相互独立，因此 (X, Y) 会形成网格）。未绑定的名称 m 和 b 会成为拟合常数；y = m x + b 会绘制模型，而 (P.x, P.y - (m P.x + b)) 会绘制残差。拟合行会报告系数、RMSE、R²（适用时）和观测数。
• P.y ~ a P.x^2 + b P.x + c 会拟合多项式；P.y ~ a exp(b P.x) 会拟合非线性模型。已定义的常数保持固定，并在更改这些常数时重新拟合其他系数。请在拟合式上方定义数据和固定常数。
• data.height ~ m data.age + b 可用于 CSV 列。缺失或非有限的数据对会被跳过，并附带数量统计；长度不匹配和系数无法识别会报错。共享链接中的缺失 CSV 文件仍保留在本地设备上。
• 拟合是静态的，最多支持 8 个系数和 10,000 个观测值（非线性模型为 2,000 个）。非线性拟合使用确定性初始值，并报告局部拟合结果；不保证得到全局最优解。

傅里叶分析

• s = interval(0, 1); fourier(cos(4pi s) + 0.5sin(10pi s))——单边振幅谱。区间是信号的变量及其周期，因此频率的单位是该变量的周期数；函数会在一个周期内读取，如 fourier(f(s))。默认使用 256 个样本；fourier(f(s), 512) 可设置样本数。
• N = clamp(round(5), 0, 48); y = reconstruct(f(s), N)——带符号的均值加前 N 个谐波，并保留相位。可在 N 后指定可选的样本数。傅里叶分析示例会在关联视图中显示原始信号、频谱和重构结果。
• S = sort(data.signal, data.row); fourier(S)——按文件顺序排列的等间距 CSV 样本，覆盖 [0, 1)；也可使用 fourier(S, interval(0, 10))。元组也适用，例如 fourier((0, 1, 0, -1))；方括号列表没有顺序。样本必须是有限实数，且不能有间隙。两种操作都假定信号是周期延拓的静态信号；信号滑块变化时会重新计算系数。重构最多支持 128 个谐波；样本数范围为 2 到 4096。

上下文语法帮助 方程编辑器会在输入时建议函数、定义名称和已加载的 CSV 列，并在函数调用中显示签名。按 Tab 或单击可插入建议；使用方向键选择建议，再按 Enter 插入。其他情况下，按 Enter 会新建一行方程，按 Escape 会关闭帮助，补全会作为一次可撤销的文本编辑处理。注释和带引号的字符串不会触发建议。

数论与复分析

• gcd(a, b) / isprime(n) — 数论；试试 a_n = isprime(n)
• ln(w-2) - ln(w+2) — 复分析：i 是虚数单位，且 w = x + iy；复值表达式会绘制其虚部的等值线（电场线）和实部的等值线（等势线），因此可以直接用复势绘制静电场。re/im/arg/abs/conj 可将值转换回 ℝ，例如 im(ln(w)) = 1 会绘制成普通的隐式曲线

方程会保存在 URL 哈希中。拖动可平移／旋转，滚轮可缩放，在 3D 中右键拖动（或按住 Shift）可平移；单击颜色圆点可切换颜色。光标悬停在点和放置的 ODE 种子上时，它们会高亮显示，并可随光标拖动。方程面板是固定在角落的卡片：轻甩它——触摸卡片任意位置，或用鼠标沿卡片顶部边缘拖动握柄条——即可将它移到任意角落；也可以将它甩过任意边缘，彻底清空视图；面板会跟随指针，并沿甩动方向离开。留下的 y= 标签可用于恢复面板（轻触它，或拖动它将面板拉入），选定的角落会保持不变。

worker/ — Cloudflare Worker 入口：提供构建后的应用，并处理 /api/* 路由。

贡献

你需要 Node 24 和 pnpm。运行 pnpm install，然后运行 pnpm web 启动开发服务器。 提交 PR 前，请运行 CI 执行的相同检查：

pnpm typecheck    # tsc over lib, web and worker
pnpm lint         # Oxlint, including type-aware rules
pnpm fmt:check    # Oxfmt (pnpm fmt rewrites files in place)
pnpm vitest run   # unit tests

pnpm lint:fix 会应用 Oxlint 能自动修复的问题。在 VS Code 中，安装推荐的 Oxc 扩展，即可在输入时查看 lint 错误。

许可证

MIT — 参见 LICENSE。legacy 分支上 2026 年之前的 graph.tk 代码仍遵循其原有的 LGPL-3.0 条款；当前代码库未复用其中的任何代码。

坐标轴缩放

按住 Option/Alt 并拖动 2D 画布，可分别缩放各坐标轴：水平移动缩放 x 轴，垂直移动缩放 y 轴，缩放锚定在初始指针位置。普通缩放会保持比例。在视口行中设置 ratio = 1，即可恢复坐标轴单位等长。

缩放会创建或更新可分享的视口行： view(x = -10..10, y = -1..1, ratio = 5)。正值 ratio 表示每个 y 单位对应的像素数除以每个 x 单位对应的像素数；省略时默认为 1。系统会在保持该比例的同时调整边界范围，包括在不同屏幕尺寸下。