bet-sizing

下注规模

核心概念

凯利准则（离散型）

对于赔率为 b、获胜概率为 p、失败概率为 q = 1-p 的二元下注：

f* = (b*p - q) / b

其中，f* 是应下注的财富比例。凯利准则通过最大化重复下注时财富的对数期望（几何增长率）来确定下注规模。

特性：

• f* = 0 表示优势 = 0（没有优势时不下注）
• f* < 0 表示优势为负（该公式建议你押另一边）
• 只有当 bp > q（期望值为正）时，f > 0

注意：参考脚本中的 discrete_kelly 会将负的凯利比例限制为 0（不下注），而不是返回负值——它不会建议押另一边。

凯利准则（连续型／投资）

对于收益呈正态分布、预期超额收益为 mu-r_f、方差为 sigma^2 的投资：

f* = (mu - r_f) / sigma^2

这给出了应配置的总财富比例。例如，某资产的预期超额收益为 8%、波动率为 20%：f* = 0.08 / 0.04 = 2.0（即财富的 200%——意味着使用杠杆）。

分数凯利

满额凯利在理论上最优，但在实践中进取性过强，原因如下：

• 它假定对概率和收益有完全准确的认知
• 它会导致较大的回撤（满额凯利的预期回撤很显著）
• 参数估计误差可能使最优策略变成灾难性策略

实用做法：使用凯利比例的一部分，常见做法包括：

• 半凯利（f/2）：* 在显著降低方差和回撤风险的同时，实现 75% 的增长率
• 三分之一凯利（f/3）：* 更为保守；适用于参数不确定性较高的情况
• 四分之一凯利（f/4）：* 适用于估计结果高度不确定的情况

关键在于：增长率曲线在峰值附近较为平坦。从满额凯利降至半凯利，只会损失 25% 的增长率，却能大幅降低风险。

风险预算

在不同头寸之间分配风险（而非资金）。总风险预算是可接受的最高投资组合风险（例如，VaR 为 10% 或跟踪误差为 5%）。

基于 VaR 的预算：

• 总 VaR 预算：例如，95% 置信度下为 $1M
• 在不同头寸之间分配：头寸 VaR_i <= 分配的 VaR_i
• 头寸 VaR = w_i * sigma_i * z_alpha * 投资组合价值

跟踪误差预算（适用于主动型管理人）：

• 总主动风险预算：例如，跟踪误差为 4%
• 在不同押注之间分配：每项主动押注都会占用一部分跟踪误差
• 调整主动头寸规模，使风险贡献之和等于总风险预算

头寸规模上限

为单个头寸设定硬性上限，以防止集中风险：

基于流动性的限制：

• 头寸 < 平均每日成交量（ADV）的 X%——常见限制：ADV 的 10-25%
• 确保能在合理时间内退出（例如，5-10 个交易日）

基于风险的限制：

• 头寸的风险贡献 < 投资组合波动率的 X%（例如，单个头寸最多占投资组合风险的 10%）
• 单个头寸 < 投资组合价值的 X%（常见标准：多元化投资组合为 5%，集中投资组合为 10%）

监管／授权限制：

• 共同基金：单一股票的持仓不得超过 5%（多元化基金）或 25%（非多元化基金）
• 指数跟踪：权重相对基准的偏离不得超过规定幅度

信心加权

根据投资论点的力度调整头寸规模：

• 高信心（最大头寸）： 优势显著、研究深入，且有多个因素相互印证
• 中等信心： 投资论点扎实，但存在一些不确定性或信息有限
• 低信心（最小头寸）： 处于早期阶段的想法、优势有限，或纯粹出于多元化目的

框架：按优势强度（1-5）和确定性（1-5）为每个头寸打分。头寸规模与两者的乘积成正比：优势 * 确定性。

最优持仓数量

在分散化与信念强度之间权衡：

• 集中持仓（10-20 个）： 信念强，研究深入。每个持仓占投资组合的 5-10%。适用于管理者确实具备专业能力和优势的情况。
• 分散持仓（50-100 个）： 对单个持仓的信念较弱，但风险分散更广。每个持仓占 1-3%。适用于系统化或基于因子的策略。
• 高度分散（100 个以上）： 类似指数。风险来自因子倾斜，而非单个持仓。

波动率缩放

根据波动率反向调整持仓规模，以保持每个持仓的风险一致：

调整后规模 = 目标风险 / 当前波动率

波动率翻倍时，持仓规模减半，从而保持美元风险不变。这是管理期货和风险目标策略的核心原则。

反马丁格尔（类似凯利）仓位规模

盈利后增加持仓规模（财富增长，因此凯利比例应用于更大的基数），亏损后则减少。这与马丁格尔策略（亏损后加倍下注）相反，后者可能导致破产。

凯利策略会自然实现反马丁格尔式的仓位规模：按当前财富的固定比例下注，因此绝对下注金额会随财富增长而增加，随亏损而减少。

关键公式

公式	表达式	使用场景
凯利公式（离散）	f* = (b*p - q) / b	二元下注的仓位规模
凯利公式（连续）	f* = (mu - r_f) / sigma^2	投资仓位规模
半凯利	f = f* / 2	实用的保守仓位规模
凯利增长率	g* = (mu - r_f)^2 / (2*sigma^2)	最大几何增长率
比例 f 下的增长率	g(f) = f*(mu - r_f) - f^2*sigma^2/2	任意比例下的增长率
波动率缩放后的规模	w = target_risk / sigma_i	保持每个持仓的风险恒定
持仓 VaR	VaR_i = w_i * sigma_i * z_alpha * V	持仓层面的风险

示例计算

示例 1：离散下注的凯利准则

已知：

• 获胜概率：p = 55%
• 失败概率：q = 45%
• 偶数赔率：b = 1（每下注 1 美元，获胜时赢得 1 美元）

计算： 最优下注规模

解答：

f* = (b*p - q) / b = (1 * 0.55 - 0.45) / 1 = 0.10 / 1 = 10%

解释：每次下注使用当前财富的 10%。这能最大化长期几何增长率。

实用调整（半凯利）：f = 10% / 2 = 5% — 以大幅降低回撤风险为代价，实现最大增长率的 75%。

全凯利下的预期回撤：在某个时点损失 50% 财富的概率相当高。半凯利能大幅降低这种尾部风险。

示例 2：投资的连续凯利公式

已知：

• 预期超额收益（mu - r_f）：8%
• 波动率（sigma）：20%

计算： 凯利最优配置

解答：

f* = (mu - r_f) / sigma^2 = 0.08 / (0.20)^2 = 0.08 / 0.04 = 2.00（200%）

这意味着配置比例为 200%（2 倍杠杆），非常激进。

实用调整：

• 半凯利：100%（无杠杆，满仓投资）
• 三分之一凯利：67% 配置
• 四分之一凯利：50% 配置

考虑到 8% 的预期收益和 20% 的波动率都是存在较大不确定性的估算值，采用半凯利（100%）或更低的比例较为审慎。增长率曲线如下：

• 全凯利：g* = 0.08^2 / (2 * 0.04) = 每年 8%
• 半凯利：g(1.0) = 1.0 * 0.08 - 1.0^2 * 0.04/2 = 每年 6%（最大值的 75%）
• 四分之一凯利：g(0.5) = 0.5 * 0.08 - 0.5^2 * 0.04/2 = 每年 3.5%（最大值的 44%）

常见陷阱

• 完整凯利策略在实际应用中过于激进——概率和收益估算中的误差可能导致过度下注并造成破产；务必使用部分凯利策略
• 凯利策略假设概率和收益已知——现实中，这些数据都是估算得出的，且存在显著误差，因此完整凯利策略很危险
• 凯利策略最大化的是对数财富（几何增长率），这可能与投资者的实际效用函数或风险承受能力不符
• 忽略流动性限制：凯利最优仓位可能超过市场能够承受且不会产生冲击的规模
• 仓位之间的相关性：单资产凯利公式未考虑投资组合效应；风险相关的仓位需要整体缩小规模
• 参数估算中的幸存者偏差：历史胜率可能高估未来的优势
• 未根据市场状态变化进行调整：优势和波动率会随时间变化

交叉引用

• historical-risk（财富管理插件）：已实现波动率是凯利仓位规模计算的重要输入
• forward-risk（财富管理插件）：预期收益预测是凯利准则的输入
• diversification（财富管理插件）：集中投资（大额下注）与分散投资（多笔小额下注）之间的权衡
• asset-allocation（财富管理插件）：下注规模在资产配置框架内进行
• rebalancing（财富管理插件）：仓位会偏离目标规模，因此需要再平衡
• quantitative-valuation（财富管理插件）：基于估值的优势估算会影响信念权重

运行脚本

uv run scripts/bet_sizing.py            # run the demo (uses PEP 723 inline deps)
uv run scripts/bet_sizing.py --verify   # check demo outputs against the worked examples (exit 1 on mismatch)
python3 scripts/bet_sizing.py            # alternative (requires: pip install numpy)

演示程序会输出上文涉及的计算结果；其中的数值与此技能中的计算示例一致。运行 --help 可查看类和函数列表。如需以编程方式使用，请导入模块而不是运行它——演示程序仅会在运行 python bet_sizing.py 时执行。