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LP Math — AMM 流动性提供数学

自动做市商（AMM）用流动性池取代传统订单簿。AMM 不撮合买卖双方，而是通过数学公式根据储备比例确定价格。流动性提供者（LP）将两种资产存入池中，并从每笔交易中赚取手续费。

了解 AMM 背后的数学原理对于以下事项至关重要：

• 评估扣除无常损失后，提供流动性是否有利可图
• 在执行大额交易前估算价格影响
• 比较不同池类型（恒定乘积型与集中流动性型）的资本效率
• 计算给定池仓位的预期手续费收入

相关技能：无常损失计算请参阅 impermanent-loss，LP 收益建模请参阅 yield-analysis，池深度评估请参阅 liquidity-analysis。

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1. 恒定乘积 AMM（xy = k）

Raydium V4 和大多数 Solana DEX 使用的基础 AMM 模型。

核心不变量

x * y = k

其中：

• x = 代币 X 的储备量（例如 SOL）
• y = 代币 Y 的储备量（例如 USDC）
• k = 恒定乘积（会随时间因手续费而增加）

现货价格

P = x / y    (price of Y in terms of X)
P = y / x    (price of X in terms of Y)

对于一个有 100 SOL 和 10,000 USDC 的池：SOL 价格 = 10,000 / 100 = 100 USDC。

交易执行

当交易者将 Δx 个代币 X 兑换到池中时：

# Output amount (before fees)
delta_y = y * delta_x / (x + delta_x)

# With fee (e.g., 0.3%)
delta_y_after_fee = delta_y * (1 - fee_rate)

# New reserves
x_new = x + delta_x
y_new = y - delta_y_after_fee

关键在于：交易越大，价格越差，因为每个单位都会使比例偏移得更远。

反向计算

若要获得指定数量的输出 Δy，所需输入为：

delta_x = x * delta_y / (y - delta_y)

交易后的价格

price_new = y_new / x_new

示例

池：100 SOL / 10,000 USDC（k = 1,000,000），手续费 = 0.3%

买入价值 5 SOL 的 USDC：

1. 毛输出：10,000 * 5 / (100 + 5) = 476.19 USDC
2. 手续费：476.19 * 0.003 = 1.43 USDC
3. 净输出：474.76 USDC
4. 实际价格：474.76 / 5 = 94.95 USDC/SOL（现货价格为 100）
5. 价格影响：(100 - 94.95) / 100 = 5.05%
6. 新储备：105 SOL / 9,525.24 USDC
7. 新 k：105 * 9,525.24 = 1,000,150.2（k 因手续费而增加）

完整推导请参阅 references/amm_formulas.md。

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2. 集中流动性（CLMM）

Orca Whirlpool、Raydium CLMM 和 Meteora DLMM 使用的模型。流动性仅在选定的价格区间 [P_lower, P_upper] 内生效。

核心概念

L = sqrt(x * y)           # Liquidity within the active range
price_at_tick = 1.0001^tick  # Tick-to-price conversion

资本效率

将流动性集中在较窄的区间内，每美元可提供更深的流动性：

# Capital efficiency ratio
efficiency = sqrt(P_upper / P_lower) / (sqrt(P_upper / P_lower) - 1)

# Example: ±5% range around $100 SOL
P_lower, P_upper = 95, 105
efficiency = sqrt(105/95) / (sqrt(105/95) - 1)  # ≈ 20.5x

±5% 区间的资本效率约为全区间的 20 倍，但如果价格移出该区间，仓位将 100% 转为单一资产。

仓位价值

对于当前价格为 P、流动性为 L、区间为 [P_lower, P_upper] 的 CLMM 仓位：

if P <= P_lower:
    # All in token X (below range)
    value_x = L * (1/sqrt(P_lower) - 1/sqrt(P_upper))
    value_y = 0
elif P >= P_upper:
    # All in token Y (above range)
    value_x = 0
    value_y = L * (sqrt(P_upper) - sqrt(P_lower))
else:
    # In range — holds both tokens
    value_x = L * (1/sqrt(P) - 1/sqrt(P_upper))
    value_y = L * (sqrt(P) - sqrt(P_lower))

区间策略比较

区间	效率	无常损失风险	手续费获取	适用场景
±2%	~50x	Very high	若处于区间内则较高	稳定币、紧密锚定
±5%	~20x	High	趋势行情中较好	主动管理
±25%	~4x	Moderate	稳定	半被动
±100%	~2x	Low	每美元收益较低	被动、波动较大的交易对
全区间	1x	基准	始终赚取手续费	设置后无需管理

完整的 CLMM 推导请参阅 references/amm_formulas.md。

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3. 价格影响

恒定乘积价格影响

# Price impact as a fraction
price_impact = delta_x / (x + delta_x)

# As percentage of pool
pool_fraction = trade_value / pool_tvl

# Rule of thumb: impact ≈ 2 * pool_fraction for constant product

多跳价格影响

对于经过多个池的路线，将各池影响复合计算：

def multi_hop_impact(hops: list[dict]) -> float:
    """Calculate total price impact across route legs.

    Args:
        hops: List of {reserve_in, trade_amount} for each leg.

    Returns:
        Total price impact as a fraction.
    """
    remaining = 1.0
    for hop in hops:
        leg_impact = hop["trade_amount"] / (hop["reserve_in"] + hop["trade_amount"])
        remaining *= (1 - leg_impact)
    return 1 - remaining

影响阈值

影响	评估	操作
< 0.1%	可忽略	正常进行
0.1–0.5%	低	适用于大多数交易
0.5–2%	中等	考虑拆分到多个池中
2–5%	高	拆分交易，使用 TWAP
> 5%	严重	减少交易规模或寻找更深的池

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4. LP 份额计算

初始存入（空池）

shares = sqrt(x_deposited * y_deposited)

首位存入者设定比例，并获得与几何平均数相等的份额。

后续存入

shares_minted = min(
    x_added / x_reserve,
    y_added / y_reserve
) * total_shares

存入资产必须与当前储备比例一致。多出的任何一种代币都不会被使用（具体实现可能会将其退回）。

提取

x_out = (shares_burned / total_shares) * x_reserve
y_out = (shares_burned / total_shares) * y_reserve

你始终会按当前比例收到两种代币。

份额价值

share_value = pool_tvl / total_shares
your_value = your_shares * share_value

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5. 费用累积

费用会累积在池中，使 k 增大：

# Before trade: k = x * y
# After trade with fee:
# k_new = (x + delta_x) * (y - delta_y_net) > k
# The difference is the fee retained in the pool

# Fee APR estimation
daily_volume = 500_000  # USD
fee_rate = 0.003        # 0.3%
daily_fees = daily_volume * fee_rate  # $1,500
tvl = 2_000_000         # $2M pool
fee_apr = (daily_fees * 365) / tvl    # 27.4%

对于 CLMM 头寸，费用收益取决于：

• 价格是否保持在你的范围内（超出范围 = 无费用）
• 你在该范围内活跃流动性中所占的份额
• 通过该池路由的总交易量

# CLMM fee estimation
your_liquidity = 50_000     # Your L
total_liquidity = 1_000_000  # Total L in your tick range
your_share = your_liquidity / total_liquidity  # 5%
your_daily_fees = daily_fees * your_share  # $75

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6. Solana 池类型

Raydium V4（恒定乘积）

• 模型：标准 xy = k
• 费用：0.25%（0.22% 给 LP，0.03% 用于回购 RAY）
• 最适合：新代币发行、高波动交易对
• 注意：集成了 OpenBook 限价订单流

Orca Whirlpool（集中流动性）

• 模型：带刻度间距的集中流动性
• 费率档位：0.01%、0.05%、0.3%、1%
• 头寸：以 NFT 表示（每个头寸都独一无二）
• 最适合：主流交易对（SOL/USDC）、稳定币交易对

Raydium CLMM

• 模型：集中流动性（类似 Uniswap V3）
• 刻度间距：1、10、60、200
• 费率档位：0.01%、0.05%、0.25%、1%
• 最适合：价格范围可预测的交易对

Meteora DLMM（动态做市商）

• 模型：使用离散区间代替连续刻度
• 策略：现货（均匀）、曲线（集中）、买卖价差（围绕当前价格）
• 费用：动态调整，随波动性变化
• 最适合：频繁再平衡的活跃 LP

详细机制和比较请参阅 references/pool_mechanics.md。

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7. 实用决策框架

你应该提供流动性吗？

1. Calculate expected fee APR
2. Estimate impermanent loss for expected price movement
3. Net return = fee APR - IL
4. Compare to simply holding the assets

选择哪种池类型？

Stablecoin pair     → CLMM with tight range (±0.5%)
Major pair (SOL/USDC) → CLMM with moderate range (±10-25%)
New/volatile token  → Constant product (full range)
Active management   → Meteora DLMM with dynamic rebalancing

LP 头寸规模

# Never LP more than you can afford to lose to IL
max_lp_allocation = portfolio_value * 0.20  # 20% max in any single pool

# For volatile pairs, reduce further
volatility_adjustment = 1 - (annualized_vol / 2)  # Scale down for vol
adjusted_allocation = max_lp_allocation * max(0.1, volatility_adjustment)

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文件

参考资料

• references/amm_formulas.md — 恒定乘积和集中流动性 AMM 的完整数学推导
• references/pool_mechanics.md — Raydium、Orca 和 Meteora 的 Solana 特定池机制

脚本

• scripts/amm_calculator.py — 恒定乘积 AMM 计算器，支持交易模拟、LP 份额和费用累积
• scripts/clmm_calculator.py — 集中流动性计算器，支持头寸估值、资本效率和范围比较

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快速参考

公式	表达式
恒定乘积	x * y = k
现货价格	P = y / x
交易输出	Δy = y * Δx / (x + Δx)
所需输入	Δx = x * Δy / (y - Δy)
价格影响	Δx / (x + Δx)
初始 LP 份额	sqrt(x * y)
后续份额	min(Δx/x, Δy/y) * total
费用 APR	(daily_fees * 365) / TVL
CLMM 效率	sqrt(P_u/P_l) / (sqrt(P_u/P_l) - 1)
刻度转价格	1.0001^tick