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快速参考链接

• **公式：**参见 formulas.md
• **微积分：**参见 calculus.md
• **线性代数：**参见 linear-algebra.md
• **统计学：**参见 statistics.md

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解题框架

一般步骤

1. 仔细阅读 - 确定已知条件和问题
2. 绘图／可视化 - 绘制图像或示意图
3. 选择策略 - 直接法、代入法、反证法等
4. 执行 - 清晰展示所有步骤
5. 验证 - 检查答案是否合理

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常见证明策略

策略	使用时机	示例
直接证明	直接证明 P → Q	“如果 n 是偶数，那么 n² 是偶数”
反证法	假设 ¬Q，推导出矛盾	证明 √2 是无理数
逆否命题	改为证明 ¬Q → ¬P	逻辑等价
数学归纳法	关于所有 n ∈ ℕ 的命题	求和公式
分类讨论	不同情形	分段函数

数学归纳法模板

Claim: P(n) is true for all n ≥ 1

Base Case: Show P(1) is true.
[Verify for n = 1]

Inductive Step:
Assume P(k) is true for some k ≥ 1. (Inductive Hypothesis)
Show P(k+1) is true.
[Derive P(k+1) using P(k)]

Therefore, by induction, P(n) is true for all n ≥ 1. ∎

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符号参考

符号	含义
∀	对所有
∃	存在
∈	属于
⊂	真子集
⊆	子集或相等
∪	并集
∩	交集
ℕ	自然数 {1,2,3,...}
ℤ	整数 {...,-1,0,1,...}
ℚ	有理数
ℝ	实数
ℂ	复数
∞	无穷大
∴	因此
∵	因为
∎	QED（证明完毕）

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函数分析检查清单

1. 定义域 - 哪些 x 值可用？
2. 值域 - 会得到哪些 y 值？
3. 截距 - x=0、y=0 时的值在哪里？
4. 对称性 - 偶函数 f(-x)=f(x)？奇函数 f(-x)=-f(x)？
5. 渐近线 - 垂直、水平还是斜渐近线？
6. 临界点 - f'(x)=0 或无定义的位置？
7. 区间 - 函数递增还是递减？
8. 凹凸性 - f''(x) > 0 或 < 0 的位置？
9. 拐点 - 凹凸性发生变化的位置？

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应避免的常见错误

1. 除以零 - 检查分母 ≠ 0
2. 负数开平方 - 考虑定义域
3. 开平方时忘记 ±
4. 求导时链式法则出错
5. 不定积分时忘记 +C
6. 对 0/0、∞/∞ 型错误地使用极限运算法则