practice-problem-sequence-designer

练习题序列设计器

此技能的作用

设计一组按顺序排列的练习题，遵循难度分布、逐步减少支架以及表面特征变化的原则——引导学生从近迁移（题目与讲解过的例题非常相似）逐步过渡到远迁移（题目看起来不同，但需要运用相同的底层技能）。输出包括练习题、每道题的设计依据、支架减少说明，以及供教师使用的监测指南。AI 在此特别有价值，因为有效的练习序列需要有意识地调整难度、表面特征和支架层级——教师设计的练习题组大多要么顺序随机（没有递进），要么难度始终一致（没有变化），两者都会削弱学习效果。

依据的研究

Rosenshine（2012）将有指导练习和独立练习列为第 5 和第 8 项原则，强调练习必须有支架支持（从教师支持开始，再逐步减少支持），且在移除支架前，学生的正确率应达到较高水平（80% 以上）。Rohrer（2009）证明，混合不同类型的练习题（交错练习），并将练习分散到多个学习时段，能比集中、成组练习显著提升记忆保持。Sweller 等人（2019）提出了变异效应——练习不同类型的题目有助于抽象出图式并实现迁移，而练习相同的题目则会形成僵化且受情境限制的知识。Atkinson 等人（2000）指出，改变情境、数字或呈现形式，同时保持底层结构不变的表面特征变化，对迁移至关重要——如果学生只练习与讲解过的例题相似的题目，那么遇到外观不同的题目时就会出错。Bjork 和 Bjork（2011）将此概括为“理想难度”——感觉更难的练习（因为题目有所变化），比感觉容易的练习（因为题目完全相同）更能促进长期学习。

输入规范

教师必须提供：

• 要练习的技能： 具体技能。例如：“解未知数位于等式两边的一元一次方程”／“使用 PEEL 结构写一段文字”／“绘制并解读箱线图”
• 学生水平： 年级和当前水平。例如：“九年级，刚看过两个例题——对这项具体技能还不熟悉”
• 题目数量： 题目数量。例如：10 道

可选（如有，内容引擎会自动注入）：

• 常见错误： 设计题目时需要考虑的已知错误
• 先前例题： 已展示的例题或范例
• 学生情况： 能力范围、具体需求
• 评估形式： 学生将如何接受评估

提示词

You are an expert in practice design and instructional sequencing, with deep knowledge of Rosenshine's (2012) practice principles, Rohrer's (2009) research on practice spacing and mixing, Sweller et al.'s (2019) variability effect, and Bjork & Bjork's (2011) concept of desirable difficulties. You understand that the sequence and structure of practice problems affects learning as much as the number of problems.

Your task is to design a practice problem sequence for:

**Skill:** {{skill_to_practise}}
**Student level:** {{student_level}}
**Number of problems:** {{problem_count}}

The following optional context may or may not be provided. Use whatever is available; ignore any fields marked "not provided."

**Common errors:** {{common_errors}} — if not provided, identify the 2–3 most common errors for this skill and include problems specifically designed to surface them.
**Prior examples:** {{prior_examples}} — if not provided, assume students have seen a standard worked example and design the first 2 problems to closely match it.
**Student profiles:** {{student_profiles}} — if not provided, design for a mixed-ability class and include differentiation notes.
**Assessment format:** {{assessment_format}} — if not provided, include at least one problem in the format students are likely to encounter in assessments.

Apply these evidence-based principles:

1. **Near-to-far transfer progression (Atkinson et al., 2000):**
   - Problems 1–2: Nearly identical to the worked example (same structure, similar numbers, same context). Success rate should be 90%+. These build confidence and confirm basic understanding.
   - Problems 3–5: Same underlying skill, different surface features (different context, different numbers, different presentation). The student must recognise the same skill in a new wrapper.
   - Problems 6–8: Increased difficulty — additional steps, missing information to infer, or combining this skill with a previously learned skill.
   - Problems 9+: Far transfer — the problem looks substantially different from the worked example but requires the same underlying skill, possibly embedded in a larger problem or applied to a novel context.

2. **Surface feature variation (Sweller et al., 2019):**
   - Vary the context, numbers, format, and presentation while keeping the underlying structure constant.
   - If the worked example used a word problem about buying apples, practice problems should include different contexts (temperature, distance, money) — students who only practise apple problems can't solve temperature problems because they've learned "the apple procedure," not the underlying mathematics.

3. **Scaffold reduction (Rosenshine, 2012):**
   - Early problems may include partial scaffolds: a hint, a first step, or a reminder of the formula.
   - Middle problems remove these scaffolds.
   - Later problems require students to determine the method independently.

4. **Error-targeting problems:**
   - Include at least 2 problems specifically designed to surface common errors.
   - If students commonly confuse operation X with operation Y, include a problem where the wrong operation gives a plausible-looking answer — forcing students to think carefully about which approach is correct.

5. **One "twist" problem:**
   - Include at least one problem that looks like it requires this skill but actually doesn't — or that requires the student to explain why the skill doesn't apply. This tests whether students are thinking or just applying a procedure mechanically.

Return your output in this exact format:

## Practice Problem Sequence: [Skill]

**For:** [Student level]
**Total problems:** [Count]
**Scaffold reduction:** [Brief overview of how scaffolding reduces across the sequence]

### Problem Sequence

For each problem:
- **Problem [N]:** [The problem text]
- **Design intent:** [Why this problem is at this position — what it tests that previous problems didn't]
- **Difficulty level:** [Near transfer / Developing / Far transfer]
- **Common error to watch for:** [If applicable]

### Scaffold Reduction Plan

[How scaffolding decreases across the sequence — what support is provided early and removed later]

### Differentiation

**Support:** [How to modify for students who struggle — which problems to prioritise, what scaffolds to add back]
**Extension:** [How to challenge students who finish quickly — which problems to add]

### Monitoring Guide

[What the teacher should look for while students work: which problems are diagnostic, what errors signal which misunderstanding, when to intervene vs. let students struggle]

**Self-check before returning output:** Verify that (a) problems progress from near to far transfer, (b) surface features vary across the sequence, (c) at least 2 problems target common errors, (d) scaffolding decreases progressively, (e) one problem tests whether students can discriminate when the skill does/doesn't apply, and (f) the first 2 problems are accessible enough for 90%+ success rate.

输出示例

场景： 技能：“计算百分比增减”／学生水平：“九年级，刚看过一道例题，要求‘求出 £240 的 15%，并将其加到原数上’”／题目数量：10 道／常见错误：［“求出百分比后忘记将其加上或减去”“计算新数值的百分比，而不是原数值的百分比”］

---

练习题序列：百分比增减

适用对象： 九年级数学 题目总数： 10 道 支架减少： 第 1–2 题附有方法提示。第 3–5 题移除提示。第 6–8 题要求选择方法。第 9–10 题将技能融入不熟悉的情境中。

题目序列

题目 1： 一件夹克售价 £80。价格上涨了 10%。新价格是多少？ 提示：先求出 £80 的 10%，再将其加到 £80 上。

• 设计意图： 与例题几乎完全相同。结构相同（百分比增长），数字简单（整十数的 10%），并提供提示。用于确认学生是否理解基本方法。
• 难度级别： 近迁移
• 预期答案： £88 问题 2： 一台笔记本电脑售价 450 英镑。促销期间降价 20%。促销价是多少？ 提示：先计算 450 英镑的 20%，再从 450 英镑中减去。
• 设计意图： 引入百分比减少（减去而非加上），并提供提示。考查学生能否运用相反的运算。数字仍然简单。
• 难度级别： 近迁移
• 需要留意的常见错误： 学生可能会把折扣加上去（得到 540 英镑）——他们不看题目就自动套用涨价的方法。

问题 3： 一份健身房会员资格每月收费 35 英镑。健身房宣布价格上涨 12%。新的月费是多少？

• 设计意图： 不提供提示。使用非整数百分比（12%）和较小的基数。考查学生能否在没有辅助的情况下解题，以及处理不那么方便的百分比。
• 难度级别： 发展阶段
• 预期答案： 39.20 英镑

问题 4： 一栋房子以 185,000 英镑购入，其价值下降了 7%。现在值多少钱？

• 设计意图： 使用较大的数字（考查学生能否应对 185,000 英镑而不慌张）、百分比减少，并转换到真实生活中的情境（从购物转到房产）。考查的核心技能相同。
• 难度级别： 发展阶段
• 需要留意的常见错误： 学生可能会算出 7%（12,950 英镑）后直接把它作为答案——忘了从原价中减去。

问题 5： 一所学校有 840 名学生。预计明年学生人数将增加 5%。届时会有多少名学生？

• 设计意图： 转换情境（计算人数而非钱数）。答案必须是整数（学生人数不能有 0.5 人）——考查学生能否结合情境解读答案。
• 难度级别： 发展阶段
• 预期答案： 882（840 × 0.05 = 42；840 + 42 = 882）

问题 6： 一辆汽车在年初价值 12,500 英镑。到年底时，它的价值为 11,250 英镑。它的价值下降了百分之几？

• 设计意图： 逆向题——百分比未知。学生必须倒推：先找出差额（1,250 英镑），再计算 1,250 英镑占 12,500 英镑的百分之几。考查对两者关系的深入理解，而不只是正向运用。
• 难度级别： 远迁移
• 需要留意的常见错误： 学生可能会计算 1,250 英镑占 11,250 英镑（新价值）的百分比，而非占 12,500 英镑（原价值）的百分比——这是列出的常见错误之一。
• 预期答案： 10%

问题 7： 一件衬衫的广告写着“降价 30%！现价仅 28 英镑”。原价是多少？

• 设计意图： 另一道逆向题——这次要根据降价后的价格求原价。学生必须认识到 28 英镑是原价的 70%（而非 100%）。这题明显更难，因为需要运用比例推理。
• 难度级别： 远迁移
• 预期答案： 40 英镑（28 英镑 ÷ 0.7 = 40 英镑）

问题 8： 一座城镇的人口增加了 15%，达到 9,200 人。增加前的人口是多少？

• 设计意图： 结构与问题 7 相同（已知变化后的数值和百分比变化，求原数），但这里是增加而非减少，情境也不同。考查学生能否将逆向方法迁移到增加和减少两种情况。
• 难度级别： 远迁移
• 预期答案： 8,000 人（9,200 ÷ 1.15 = 8,000） 问题 9： 一家商店先涨价 20%，然后推出“打 8 折”促销。一位顾客说：“先涨价 20% 再降价 20%，两者会抵消，所以价格恢复正常了。”他说得对吗？请用一个具体例子解释你的答案。
• 设计意图： 这是一道“反转”题。答案是否定的——先涨价 20%，再降价 20%，并不会回到原价（例如，£100 → £120 → £96）。这能揭示对百分比的深层误解，并要求学生解释，而不只是计算。
• 难度级别： 远迁移 / 批判性思维
• 预期答案： 不对。例如：£100 + 20% = £120。£120 - 20% = £96，而不是 £100。降价 20% 是以较高的金额为基数计算的。

问题 10： 一项投资每年增值 5%。如果你投资 £1,000，3 年后它价值多少？

• 设计意图： 复利增长百分比——每年的百分比都是按当年的新总额计算，而不是按原始金额计算。这将技能拓展到新的领域（复利增长），并预告后续主题。不要求所有学生都能掌握——这属于拓展内容。
• 难度级别： 远迁移 / 拓展
• 预期答案： £1,157.63（£1,000 × 1.05³）

支架撤除计划

题目	支架级别
1–2	提供方法提示（“先求出 Y 的 X%，再加上或减去”）
3–5	不提供提示。学生必须独立回忆并运用方法
6–8	反向题。学生必须确定解题方法（从新值倒推原值）。不提供解题思路指导
9–10	概念推理与拓展。学生必须解释、论证，或将技能延伸到新领域

分层教学

支持（适用于问题 1–3 遇到困难的学生）：

• 提供方法卡：“步骤 1：求出百分比。步骤 2：增加（涨价）或减少（降价）。”
• 只做问题 1–5。问题 6 及之后的题目要求学生先牢固掌握正向应用，再尝试反向题。
• 为问题 6（反向百分比）搭配一道完整例题——与 Worked Example Fading Designer 组合使用。

拓展（适用于完成全部 10 题的学生）：

• 问题 11：“某个价格先上涨 25%，再下降 20%。最终价格高于、低于还是等于原价？请用代数证明。”
• 问题 12：“一项年复利利率为 5% 的投资需要多少年才能翻倍？先估算，再计算。”

监测指南

• 问题 1–2： 这两题应耗时 2–3 分钟。如果学生在此处卡住，说明他们还没有掌握基本方法——立即用完整例题进行快速再教学。
• 问题 4： 在此检查答案。如果学生写出 £12,950（百分比数额，而不是新值），说明他们理解计算过程，但忘了最后一步。这是程序性提醒，无需重新教学。
• 问题 6： 这是诊断题。如果学生尝试除以错误的金额（例如，按新值求百分比，而不是按原值），说明他们存在常见误解。暂停并用针对性示例讲解：“百分比变化始终是相对于原始金额计算的。”
• 问题 9： 如果学生说“对，两者会抵消”，不要直接公布答案。应改问：“用 £100 来验证。把算式写给我看。”让他们算出 £96（而不是 £100）所带来的意外形成认知冲突。
• 一般原则： 前 5 分钟在教室里巡视，检查问题 1–3。如果问题 3 的正确率达到 80% 或以上，全班就可以继续独立完成。如果正确率低于 80%，就暂停并弥补知识缺口。

---

已知局限

1. 题目序列假设只聚焦一项技能。 实际考试题目通常会结合多项技能（百分比变化 + 读图 + 联系情境进行解读）。本序列旨在培养核心技能的熟练度；与其他技能交错练习应安排在后续课程中，而不是纳入这套初始练习题。后续课程可与 Interleaving Unit Planner 配合，安排混合练习。

2. 尚未掌握基本步骤的学生可能会被表层特征的变化弄糊涂。 对能力较弱的学生来说，过早引入过多变化可能会让他们感到不知所措。对于这些学生，应先从 4–5 道近迁移题（只改变数字）开始，再引入情境变化。对于能力较强的群体，可以跳过题目 1–2，压缩这一序列。

3. 监测指南要求教师有效地巡视课堂。 设计出好的题目是必要的，但还不够——教师必须实际观察学生做题，找出错误模式，并在恰当时机介入。该指南有助于引导注意力，但无法取代教师的专业判断，帮助其决定何时让学生继续尝试、何时出手协助。