sympy

SymPy - Python 中的符号数学

概述

SymPy 是一个用于符号数学的 Python 库，可使用数学符号而非数值近似进行精确计算。本技能全面介绍如何使用 SymPy 执行符号代数、微积分、线性代数、方程求解、物理计算和代码生成。

安装

已针对 SymPy 1.14.0（稳定版；2025 年 4 月）进行测试。需要 Python 3.9+。

# Install SymPy using uv
uv pip install "sympy>=1.14"

# Optional: for lambdify and plotting examples
uv pip install numpy scipy matplotlib

检查版本：

import sympy
print(sympy.__version__)

何时使用本技能

在以下情况下使用本技能：

• 以符号方式求解方程（代数方程、微分方程、方程组）
• 执行微积分运算（导数、积分、极限、级数）
• 运算和简化代数表达式
• 以符号方式处理矩阵和线性代数
• 进行物理计算（力学、量子力学、向量分析）
• 进行数论计算（素数、因式分解、模运算）
• 进行几何计算（二维／三维几何、解析几何）
• 将数学表达式转换为可执行代码（Python、C、Fortran）
• 生成 LaTeX 或其他格式的数学输出
• 需要精确的数学结果（例如 sqrt(2)，而非 1.414...）

核心能力

references/core_capabilities.md 中介绍了七个能力领域：

1. 符号计算基础 — 符号、表达式、化简、替换。
2. 微积分 — 求导、积分、极限、级数。
3. 方程求解 — solve、solveset、线性和非线性方程组、ODE。
4. 矩阵和线性代数 — 参见 references/matrices-linear-algebra.md。
5. 物理和力学 — 参见 references/physics-mechanics.md。
6. 高级数学 — 参见 references/advanced-topics.md。
7. 代码生成和输出 — 参见 references/code-generation-printing.md。

前三个领域的深入介绍见 references/core-capabilities.md。

使用 SymPy 的最佳实践

1. 始终先定义符号

from sympy import symbols
x, y, z = symbols('x y z')
# Now x, y, z can be used in expressions

2. 使用假设以获得更好的化简效果

x = symbols('x', positive=True, real=True)
sqrt(x**2)  # Returns x (not Abs(x)) due to positive assumption

常见假设：real、positive、negative、integer、rational、complex、even、odd

3. 使用精确算术

from sympy import Rational, S
# Correct (exact):
expr = Rational(1, 2) * x
expr = S(1)/2 * x

# Incorrect (floating-point):
expr = 0.5 * x  # Creates approximate value

4. 按需进行数值计算

from sympy import pi, sqrt
result = sqrt(8) + pi
result.evalf()    # 5.96371554103586
result.evalf(50)  # 50 digits of precision

5. 转换为 NumPy 以提升性能

# Slow for many evaluations:
for x_val in range(1000):
    result = expr.subs(x, x_val).evalf()

# Fast:
f = lambdify(x, expr, 'numpy')
results = f(np.arange(1000))

6. 使用合适的求解器

• solveset：代数方程（首选）
• linsolve：线性方程组
• nonlinsolve：非线性方程组
• dsolve：微分方程
• solve：通用求解器（旧版，但灵活）

参考文件结构

本技能使用模块化参考文件来介绍不同的能力：

1. core-capabilities.md：符号、代数、微积分、化简、方程求解

   • 加载时机：进行基础符号计算、微积分或方程求解

2. matrices-linear-algebra.md：矩阵运算、特征值、线性方程组

   • 加载时机：处理矩阵或线性代数问题

3. physics-mechanics.md：经典力学、量子力学、向量、单位

   • 加载时机：进行物理计算或处理力学问题

4. advanced-topics.md：几何、数论、组合数学、逻辑、统计学

   • 加载时机：处理基础代数和微积分之外的高级数学主题

5. code-generation-printing.md：Lambdify、代码生成、LaTeX 输出、打印

   • 加载时机：将表达式转换为代码或生成格式化输出

常见用例模式

模式 1：求解并验证

from sympy import symbols, solve, simplify
x = symbols('x')

# Solve equation
equation = x**2 - 5*x + 6
solutions = solve(equation, x)  # [2, 3]

# Verify solutions
for sol in solutions:
    result = simplify(equation.subs(x, sol))
    assert result == 0

模式 2：从符号到数值的流程

# 1. Define symbolic problem
x, y = symbols('x y')
expr = sin(x) + cos(y)

# 2. Manipulate symbolically
simplified = simplify(expr)
derivative = diff(simplified, x)

# 3. Convert to numerical function
f = lambdify((x, y), derivative, 'numpy')

# 4. Evaluate numerically
results = f(x_data, y_data)

模式 3：记录数学结果

# Compute result symbolically
integral_expr = Integral(x**2, (x, 0, 1))
result = integral_expr.doit()

# Generate documentation
print(f"LaTeX: {latex(integral_expr)} = {latex(result)}")
print(f"Pretty: {pretty(integral_expr)} = {pretty(result)}")
print(f"Numerical: {result.evalf()}")

与科学工作流集成

与 NumPy 集成

import numpy as np
from sympy import symbols, lambdify

x = symbols('x')
expr = x**2 + 2*x + 1

f = lambdify(x, expr, 'numpy')
x_array = np.linspace(-5, 5, 100)
y_array = f(x_array)

与 Matplotlib 集成

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from sympy import symbols, lambdify, sin

x = symbols('x')
expr = sin(x) / x

f = lambdify(x, expr, 'numpy')
x_vals = np.linspace(-10, 10, 1000)
y_vals = f(x_vals)

plt.plot(x_vals, y_vals)
plt.show()

与 SciPy 集成

from scipy.optimize import fsolve
from sympy import symbols, lambdify

# Define equation symbolically
x = symbols('x')
equation = x**3 - 2*x - 5

# Convert to numerical function
f = lambdify(x, equation, 'numpy')

# Solve numerically with initial guess
solution = fsolve(f, 2)

快速参考：最常用的函数

# Symbols
from sympy import symbols, Symbol
x, y = symbols('x y')

# Basic operations
from sympy import simplify, expand, factor, collect, cancel
from sympy import sqrt, exp, log, sin, cos, tan, pi, E, I, oo

# Calculus
from sympy import diff, integrate, limit, series, Derivative, Integral

# Solving
from sympy import solve, solveset, linsolve, nonlinsolve, dsolve

# Matrices
from sympy import Matrix, eye, zeros, ones, diag

# Logic and sets
from sympy import And, Or, Not, Implies, FiniteSet, Interval, Union

# Output
from sympy import latex, pprint, lambdify, init_printing

# Utilities
from sympy import evalf, N, nsimplify

入门示例

示例 1：求解二次方程

from sympy import symbols, solve, sqrt
x = symbols('x')
solution = solve(x**2 - 5*x + 6, x)
# [2, 3]

示例 2：计算导数

from sympy import symbols, diff, sin
x = symbols('x')
f = sin(x**2)
df_dx = diff(f, x)
# 2*x*cos(x**2)

示例 3：计算积分

from sympy import symbols, integrate, exp
x = symbols('x')
integral = integrate(x * exp(-x**2), (x, 0, oo))
# 1/2

示例 4：矩阵特征值

from sympy import Matrix
M = Matrix([[1, 2], [2, 1]])
eigenvals = M.eigenvals()
# {3: 1, -1: 1}

示例 5：生成 Python 函数

from sympy import symbols, lambdify
import numpy as np
x = symbols('x')
expr = x**2 + 2*x + 1
f = lambdify(x, expr, 'numpy')
f(np.array([1, 2, 3]))
# array([ 4,  9, 16])

常见问题排查

1. “NameError: name 'x' is not defined”

   • 解决方法：使用前务必通过 symbols() 定义符号

2. 数值结果与预期不符

   • 问题：使用 0.5 这样的浮点数，而不是 Rational(1, 2)
   • 解决方法：使用 Rational() 或 S() 进行精确运算

3. 循环中的性能缓慢

   • 问题：反复使用 subs() 和 evalf()
   • 解决方法：使用 lambdify() 创建快速数值函数

4. “无法求解此方程”

   • 尝试使用不同的求解器：solve、solveset、nsolve（数值求解）
   • 检查方程是否可通过代数方法求解
   • 如果不存在闭式解，请使用数值方法

5. 化简结果不符合预期

   • 尝试使用不同的化简函数：simplify、factor、expand、trigsimp
   • 为符号添加假设（例如，positive=True）
   • 使用 simplify(expr, force=True) 进行强力化简

更多资源

• 官方文档：https://docs.sympy.org/
• 教程：https://docs.sympy.org/latest/tutorials/intro-tutorial/index.html
• API 参考：https://docs.sympy.org/latest/reference/index.html
• 示例：https://github.com/sympy/sympy/tree/master/examples

Agent 操作流程

1. 检查环境。 确认 Python 环境和库版本（python -c "import pkg; print(pkg.__version__)"），并检查数据的形状、类型和缺失值。
2. 明确输入。 根据数据或用户确认格式、标识符和参数。任何会改变结果的值都应询问确认，不要猜测。
3. 先运行小规模版本。 先在样本或单个折上运行，并检查运行时间和内存占用。
4. 使用上述说明和参考资料执行完整任务。
5. 验证结果。 使用留出数据、固定随机种子和适当的指标；检查是否存在数据泄漏；报告不确定性（置信区间、不同随机种子的标准差）。
6. 报告。 说明运行了什么（版本、命令、参数）、检查了什么，以及仍有哪些不确定之处。

如果出现以下情况	请执行以下操作
内存不足或执行速度很慢	使用子采样、分块或惰性计算，或者缩小模型规模，并告知用户所做的更改。
已安装版本中缺少这些说明里的函数、标志或端点	查看已安装版本自己的文档（help()、--help、官方文档），调整用法并告知用户。切勿凭空编造 API。
必需的输入、标识符或参数含义不明确	询问用户，或在运行前明确说明所采用的假设。

诚信准则

• 切勿捏造结果、参数、标识符、引文或统计数据。如果无法运行或验证某项内容，请直言说明。
• 切勿报告本次会话中未计算的指标；应展示生成每个数值的代码路径。
• 此处与版本相关的细节可能已经过时：请对照已安装版本的官方文档进行确认。
• 对于会产生费用、占用共享 GPU 或云配额、涉及个人或患者数据，或无法撤销的操作，须事先征得同意。