theory-proof-sketcher

証明スケッチャー

直感を、完全な形式化に取り組む前に検証可能な証明の骨組みに変えます。 目的は、完全であるかのように装うことではありません。
構造、仮定、未解決のギャップをできるだけ早い段階で明らかにすることが目的です。

手順

1. 目標とする主張を正確に述べる

主張を数学的に検証可能な形式で記述します。 次の内容を含めます。

• 量化変数
• 定義域の制約
• 該当する場合は漸近的な範囲
• 確率に関する条件
• 厳密な結論 次のような表現は避けます。
• 「〜のように振る舞う」
• 「おおよそ」
• 「収束するはず」
• 「安定している」
• 「うまく動作する」 悪い例：

このランダムウォークはすぐに混合します。 よりよい例： 連結かつ二部グラフでない任意のグラフ (G) について、遅延ランダムウォークは [ |P^t(v,\cdot)-\pi|_{\mathrm{TV}} \le \varepsilon ] を、次のすべての (t) について満たします。 [ t \ge C \gamma^{-1}\log(n/\varepsilon), ] ここで、(\gamma) はスペクトルギャップです。

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2. 対象、記法、仮定を定義する

次の項目を明示的に定義します。

• 空間
• 作用素
• 行列
• 測度
• ノルム
• グラフ族
• 正則性の仮定
• 独立性の仮定
• 漸近的な仮定 後で使う記号はすべて、あらかじめ定義しておく必要があります。 次のものを区別します。
• 基本仮定
• 一時的な仮定
• 予想上の仮定 例：

Assumption A1.
G is connected, undirected, and non-bipartite.
Assumption A2.
The transition matrix P is reversible with stationary distribution π.

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3. Decompose the Argument

Split the proof into:

* lemmas
* propositions
* reduction steps
* intermediate estimates

Prefer:

Main theorem
├── Lemma 1: spectral estimate
├── Lemma 2: concentration bound
└── Lemma 3: coupling argument

over a single monolithic proof sketch.

Each sub-result should have:

* explicit input assumptions
* explicit output statement
* clear dependency chain

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4. For Each Stage, Specify the Proof Skeleton

For every lemma or stage, include the following fields.

Goal

State exactly what must be shown.

Candidate Technique

Examples:

* spectral decomposition
* coupling
* martingale inequality
* compactness argument
* variational characterization
* induction
* contradiction
* perturbation analysis
* concentration inequality
* optimal transport duality

Dependencies

List:

* previous lemmas
* external theorems
* hidden assumptions
* required estimates

Likely Weak Points

Identify:

* unjustified limit interchange
* missing regularity
* non-uniform constants
* dependence assumptions
* dimension blow-up
* unproved concentration
* unjustified approximation

Do not hide uncertainty.

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5. Mark Gaps Explicitly

Any unresolved step must be labeled as a gap.

Use labels such as:

GAP 1.
Need a uniform lower bound on conductance.
GAP 2.
The coupling argument only works for reversible chains.
GAP 3.
The concentration step currently assumes sub-Gaussian tails.

Never present an unproved step as established fact.

Separate:

* proved step
* heuristic argument
* conjectural extension

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6. Compare Competing Proof Strategies

If multiple approaches exist, compare them briefly.

Example:

Strategy A: Spectral method
- cleaner constants
- requires reversibility
Strategy B: Coupling method
- more probabilistic
- may extend to directed graphs
- weaker quantitative bounds

Do not expand every branch fully.
Focus on the most plausible route.

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7. End with the Minimal Next Action

Conclude with the smallest concrete step needed to advance the proof.

Good:

Next step:
Prove that the random-walk refinement operator is contractive under the chosen diffusion metric.

Bad:

Next step:
Finish the proof.

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Output Format

Use the following structure.

# Target Claim
...
# Assumptions and Definitions
...
# Proof Structure
## Lemma 1
### Goal
...
### Technique
...
### Dependencies
...
### Weak Points
...
## Lemma 2
...
# Gaps
...
# Alternative Strategies
...
# Minimal Next Step
...

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Rules

* Prefer explicit assumptions over implicit context.
* Prefer incomplete honesty over fake rigor.
* Distinguish theorem, heuristic, and conjecture.
* Avoid narrative filler.
* Avoid undefined notation.
* Avoid skipping dependency chains.
* Do not claim a result is “obvious” without stating why.
* Do not compress multiple logical steps into one sentence.
* Keep the scaffold minimal but structurally rigorous.