forward-risk

前瞻性风险分析

核心概念

参数法（方差-协方差）VaR

假设收益率服从正态分布。对于单项资产或以美元计价的投资组合（假设短期内预期收益为零）：

VaR = W * z_alpha * sigma_p

其中：

• W = 投资组合价值
• z_alpha = 置信水平对应的 z 分数（95% 时为 1.645，99% 时为 2.326）
• sigma_p = 相关期限内的投资组合波动率

更一般地，纳入预期收益：

VaR_alpha = mu - z_alpha * sigma

将 1 天 VaR 换算为 h 天 VaR（假设收益率独立同分布）：

VaR_h = VaR_1 * sqrt(h)

投资组合 VaR（多项资产）

对于权重向量为 w、协方差矩阵为 Sigma 的投资组合：

sigma_p = sqrt(w' * Sigma * w)
VaR_p   = W * z_alpha * sqrt(w' * Sigma * w)

协方差矩阵同时反映各资产的个别波动率及资产间的相关性。

蒙特卡洛 VaR

模拟大量投资组合收益情景（例如 10,000 个以上），然后取模拟损失分布的 alpha 百分位数。

步骤：

1. 估计收益率分布参数（均值向量、协方差矩阵，或使用 copula 模型）。
2. 生成 N 个随机收益情景（例如，对多元正态分布使用协方差矩阵的 Cholesky 分解）。
3. 计算每个情景下的投资组合收益。
4. 对结果排序并确定 alpha 百分位数对应的损失。

蒙特卡洛 VaR 可处理非正态分布、肥尾、路径依赖型工具和非线性收益（例如期权）。

条件 VaR（CVaR）/预期损失

CVaR 回答的问题是：“如果损失超过 VaR，预期损失是多少？”

ES_alpha = E[Loss | Loss > VaR_alpha]

对于正态分布：

ES_alpha = mu + sigma * phi(z_alpha) / (1 - alpha)

其中 phi 是标准正态分布的概率密度函数（PDF）。

CVaR 是一种一致性风险度量（与 VaR 不同），因为它满足次可加性：CVaR(A+B) <= CVaR(A) + CVaR(B)。这意味着分散投资总是会降低或维持 CVaR，而 VaR 不一定如此。

成分 VaR

将投资组合总 VaR 分解为各头寸的贡献。各成分 VaR 之和等于总 VaR。

CVaR_i = w_i * beta_i * VaR_p

其中 beta_i = Cov(R_i, R_p) / Var(R_p) 是资产相对于投资组合的 beta 值。

等价地：

CVaR_i = w_i * (partial VaR / partial w_i)
sum(CVaR_i) = VaR_p

此分解可识别对投资组合风险贡献最大的头寸。

边际 VaR

衡量头寸权重小幅增加时，投资组合 VaR 的变化率。

MVaR_i = partial(VaR_p) / partial(w_i) = z_alpha * (Sigma * w)_i / sigma_p

边际 VaR 可用于头寸规模管理：增加边际 VaR 较低的头寸，可以更有效地降低投资组合风险。

情景分析

将特定的历史或假设市场变动应用于当前投资组合，以估算损益影响。

• 历史情景： 使用当前持仓重现实际市场事件（例如 2008 年全球金融危机、2020 年 COVID 暴跌、2022 年加息周期）。
• 假设情景： 构造自定义冲击（例如“股票 -20%，利率 +200bp，信用利差 +300bp，美元 +10%”）。

情景损益通过将情景收益应用于当前头寸敞口并重新估值来计算。

压力测试

一种用于评估投资组合在极端但合理条件下韧性的结构化框架。

常见压力情景：

• 股市暴跌：S&P 500 下跌 30% 至 40%
• 利率冲击：平行移动 +300bp
• 信用危机：投资级利差 +200bp，高收益债利差 +800bp
• 流动性冻结：买卖价差扩大 10 倍，以折价强制卖出
• 汇率冲击：主要货币对变动 15% 至 20%
• 滞胀：通胀 +5%，GDP -3%，利率 +200bp

压力测试应纳入二阶效应：追加保证金通知、流动性需求、相关性飙升、交易对手风险。

基于因子的风险分解

将投资组合总风险拆分为系统性因子风险和特质风险（特定证券风险）。

sigma^2_p = b' * Sigma_f * b + sum(w_i^2 * sigma^2_epsilon_i)

其中：

• b = 投资组合因子敞口向量
• Sigma_f = 因子协方差矩阵
• sigma^2_epsilon_i = 资产 i 的特质方差

常见因子模型：Fama-French（市场、规模、价值、动量）、Barra 风险模型、基于 PCA 的统计因子。

关键公式

公式	表达式	用途
参数 VaR（单项）	W * z_alpha * sigma	简单头寸 VaR
投资组合 VaR	W * z_alpha * sqrt(w' * Sigma * w)	多资产 VaR
多日 VaR	VaR_1 * sqrt(h)	缩放至 h 日期限
CVaR（正态分布）	mu + sigma * phi(z_alpha) / (1 - alpha)	预期尾部损失
分项 VaR	w_i * beta_i * VaR_p	每个头寸的风险贡献
边际 VaR	z_alpha * (Sigma * w)_i / sigma_p	对权重变化的敏感度
因子风险	b' * Sigma_f * b	系统性风险部分
特质风险	sum(w_i^2 * sigma^2_epsilon_i)	个别证券特有的风险

示例详解

示例 1：参数法 95% VaR

已知： 一个价值 $1,000,000、年化波动率为 15% 的股票投资组合。

计算： 1 日 95% 参数 VaR（假设每年有 252 个交易日，且每日预期收益为零）。

解答：

日波动率：

sigma_daily = 0.15 / sqrt(252) = 0.15 / 15.875 = 0.00945

1 日 95% VaR：

VaR = $1,000,000 * 1.645 * 0.00945 = $15,545

也可以直接根据年度数据计算：

VaR_annual = $1,000,000 * 1.645 * 0.15 = $246,750
VaR_1day   = $246,750 / sqrt(252)       = $15,545

解读：在正常市场条件下，单日损失超过 $15,545 的概率为 5%。

示例 2：蒙特卡洛 VaR

已知： 一个由两种资产构成的投资组合（60% 股票，40% 债券）。股票：mu = 10%，sigma = 18%。债券：mu = 4%，sigma = 5%。相关系数 rho = -0.2。投资组合价值 = $1,000,000。

计算： 通过蒙特卡洛模拟计算年度 95% VaR（概念步骤）。

解答：

1. 构造协方差矩阵：

Sigma = | 0.0324  -0.0018 |
        | -0.0018  0.0025 |

2. 对 Sigma 进行 Cholesky 分解，得到下三角矩阵 L。

3. 模拟 10,000 个情景： 对每次模拟，抽取 z ~ N(0, I)，计算 r = mu + L*z，然后计算投资组合收益 R_p = w' * r。

4. 对每个情景 计算投资组合损益：P&L = $1,000,000 * R_p。

5. 将 损益从最差到最好排序。第 500 个最差值（第 5 百分位）即为 95% VaR。

对于该投资组合，解析解可作为基准：

sigma_p = sqrt(0.6^2 * 0.0324 + 0.4^2 * 0.0025 + 2 * 0.6 * 0.4 * (-0.0018))
        = sqrt(0.011664 + 0.0004 - 0.000864)
        = sqrt(0.0112)
        = 10.58%

VaR_95% = $1,000,000 * 1.645 * 0.1058 = $174,090

在多元正态分布假设下，蒙特卡洛模拟结果应趋近于此值。

示例 3：预期损失

已知： 在上述蒙特卡洛模拟中，超过 VaR 的损失（10,000 个情景中最差的 500 个）的平均损失为 $225,000。

计算： 95% CVaR。

解答：

CVaR_95% = $225,000

解读：当损失超过 95% VaR 阈值时，平均损失为 $225,000。这比 $174,090 的 VaR 数值高出约 29%，凸显了尾部事件的严重性。

常见陷阱

• VaR 无法反映尾部形态： VaR 只确定一个阈值。两个 VaR 相同的投资组合，其尾部损失可能大不相同。务必同时计算 CVaR 和 VaR，以了解尾部风险的严重程度。
• 参数 VaR 假设收益服从正态分布： 金融收益具有肥尾和偏度。参数 VaR 会系统性低估尾部风险。应使用肥尾分布的蒙特卡洛模拟或历史模拟，以获得更真实的估算。
• 危机期间相关性崩溃： 市场承压时，相关性会飙升至 1.0，而这恰恰是最需要分散投资的时候。压力测试应使用危机期间的相关性，而不是平静时期的相关性。
• 协方差估算的回溯期过短： 窗口过短会导致估算结果嘈杂；窗口过长则会纳入来自不同市场状态的过时数据。常见的折中方案是使用 1-3 年的日度数据，或使用按 EWMA 加权的协方差。
• 未区分绝对 VaR 和相对 VaR： 绝对 VaR 包含预期收益（VaR = -mu + zsigma）；相对 VaR 不包含（VaR = zsigma）。对于较短期限（1-10 天），预期收益可以忽略不计，两者差异很小；对于较长期限，差异则很重要。
• 平方根时间缩放的局限性： VaR_h = VaR_1 * sqrt(h) 假设收益是独立同分布的。存在序列相关性或波动率聚集时，这种缩放并不准确。

交叉引用

• historical-risk（财富管理插件）：历史 VaR 和已实现波动率可作为非参数替代方案，以及本技能中前瞻模型的校准基准。
• performance-metrics（财富管理插件）：VaR 和 CVaR 可用作修正风险调整比率（例如，收益/CVaR）的风险分母。
• volatility-modeling（财富管理插件）：EWMA 和 GARCH 波动率预测可为参数法和 Monte Carlo VaR 提供波动率输入（sigma）。

运行脚本

uv run scripts/forward_risk.py            # run the demo (uses PEP 723 inline deps)
uv run scripts/forward_risk.py --verify   # check demo outputs against the worked examples (exit 1 on mismatch)
python3 scripts/forward_risk.py            # alternative (requires: pip install numpy scipy)

该演示会打印上述计算结果；其数值与本技能中的示例计算一致。运行 --help 可查看类和函数列表。若要以编程方式使用，请导入模块，而不是运行脚本——演示仅在 python forward_risk.py 下执行。