historical-risk

历史风险分析

核心概念

收盘价到收盘价波动率

最简单、最常用的波动率估算方法。计算对数收益率的标准差并进行年化。

sigma_annual = sigma_daily * sqrt(N)

其中，N = 每年的交易周期数（通常每日为 252，按周为 52，按月为 12）。

推荐使用对数收益率：r_t = ln(P_t / P_{t-1})。

Parkinson（最高价-最低价）估算方法

使用日内最高价和最低价，捕捉收盘价到收盘价方法遗漏的日内波动率。在真实过程连续时，该方法比收盘价到收盘价方法更有效。

sigma^2_Park = (1 / (4 * n * ln(2))) * sum( ln(H_i / L_i)^2 )

对于扩散过程，该估算方法的效率大约是收盘价到收盘价方法的 5 倍；但存在跳跃或价格区间离散时，估算值会偏低。

Yang-Zhang 估算方法

结合隔夜（收盘价到开盘价）、开盘价到收盘价以及 Rogers-Satchell 三个组成部分。对于同时存在漂移和开盘跳跃的过程，该方法的估算结果无偏。

sigma^2_YZ = sigma^2_overnight + k * sigma^2_open-to-close + (1 - k) * sigma^2_RS

其中，k 的取值旨在使估算量的方差最小：

k = 0.34 / (1.34 + (n + 1) / (n - 1))

其中，n 为观测值数量，sigma^2_RS 为 Rogers-Satchell 估算量，它使用每个周期内全部四种 OHLC 价格。

回撤分析

时间 t 的回撤衡量从运行峰值开始的下跌幅度：

DD_t = (Peak_t - Value_t) / Peak_t

其中，Peak_t = 所有 s <= t 时 Value_s 的最大值。

• 最大回撤（MDD）： 在评估期内，MDD = max(DD_t)。
• 回撤持续时间： 从达到峰值到创新高所经历的周期数。
• 恢复时间： 从谷底回到先前峰值水平所经历的周期数。

历史 VaR

非参数（经验）风险价值（Value-at-Risk）就是历史收益率分布的 alpha 百分位数，不作任何分布假设。

VaR_alpha = -Percentile(R, alpha)

例如，95% VaR 使用收益率的第 5 百分位数。负号是一种惯例，可将 VaR 表示为正的损失数值。

下行偏差

衡量低于最低可接受收益率（MAR）的收益率离散程度：

sigma_d = sqrt( (1/n) * sum( min(R_i - MAR, 0)^2 ) )

MAR 的常见取值：0%、无风险利率或平均收益率。

跟踪误差

投资组合收益率与基准收益率之差的标准差，并进行年化：

TE = std(R_p - R_b) * sqrt(N)

它衡量投资组合跟踪（或偏离）基准的稳定程度。

半方差

仅使用低于均值（或低于某一阈值）的收益率计算方差：

SV = (1/n) * sum( min(R_i - mean(R), 0)^2 )

半方差单独衡量下行风险，是 Sortino 比率的基础（参见 performance-metrics）。

关键公式

公式	表达式	用途
年化波动率	sigma_ann = sigma_period * sqrt(N)	将周期波动率转换为年化波动率
对数收益率	r_t = ln(P_t / P_{t-1})	计算连续复利收益率
Parkinson 方差	sigma^2 = (1 / (4n ln2)) * sum(ln(H/L)^2)	根据最高价-最低价数据计算波动率
回撤	DD_t = (Peak_t - Value_t) / Peak_t	衡量从峰值到谷底的下跌幅度
最大回撤	MDD = max(DD_t)	历史最大跌幅
历史 VaR（95%）	收益率序列的第 5 百分位数	非参数损失估算
下行偏差	sigma_d = sqrt((1/n) * sum(min(R_i - MAR, 0)^2))	衡量低于 MAR 的非对称风险
跟踪误差	TE = std(R_p - R_b) * sqrt(N)	投资组合相对于基准的偏离
半方差	(1/n) * sum(min(R_i - mean(R), 0)^2)	低于均值的方差

示例

示例 1：根据日收益率计算年化波动率

已知： 某股票的日对数收益率样本标准差为 1.2%。假设每年有 252 个交易日。

计算： 年化波动率。

解答：

sigma_annual = 0.012 * sqrt(252)
             = 0.012 * 15.875
             = 0.1905
             ~ 19.05%

该股票的年化波动率约为 19%。

示例 2：根据价格序列计算最大回撤

已知： 某基金的净值在 6 个月内依次为：$120、$135、$150、$130、$105、$125。

计算： 最大回撤，并找出峰值和谷值。

解答：

运行峰值：$120、$135、$150、$150、$150、$150。

各点的回撤：

• $120：(120-120)/120 = 0%
• $135：(135-135)/135 = 0%
• $150：(150-150)/150 = 0%
• $130：(150-130)/150 = 13.3%
• $105：(150-105)/150 = 30.0%
• $125：(150-125)/150 = 16.7%

最大回撤 = 30.0%，发生在从峰值 $150 到谷值 $105 的过程中。截至最后一次观测（$125），回撤尚未完全恢复。

示例 3：历史 VaR

已知： 500 个按从低到高排序的日收益率。倒数第 25 个收益率为 -2.8%，倒数第 26 个为 -2.6%。

计算： 95% 的 1 日历史 VaR。

解答：

第 5 个百分位对应 500 个观测中的第 25 个（500 * 0.05 = 25）。

VaR_95% = -(-2.8%) = 2.8%

解读：根据历史分布，95% 的交易日亏损预计不会超过 2.8%。

常见陷阱

• 未正确年化波动率： 波动率按时间的平方根缩放（乘以 sqrt(N)），而非线性缩放。将日波动率乘以 252 而不是 sqrt(252)，会导致数值严重偏高。
• 不一致地使用日历日和交易日： 对股票市场进行年化时，使用 252 个交易日（而不是 365 个日历日）。债券市场和部分国际市场可能有所不同。
• 历史数据中的幸存者偏差： 排除已退市或失败证券的数据集会低估已实现风险。
• 回溯期敏感性： 1 年回溯期捕捉到的风险状况与 5 年回溯期不同。务必说明回溯期，并考虑其是否涵盖相关市场状况。
• 混淆 VaR 置信水平的方向： 95% VaR 对应收益率的第 5 个百分位（损失尾部）。“95%”指置信水平，而非收益的百分位。
• 对数收益率与简单收益率： 估算波动率时，首选对数收益率，因为它们可跨时间相加。报告累计表现时，简单收益率更直观。

交叉引用

• performance-metrics（wealth-management 插件）：使用波动率、下行偏差、跟踪误差和最大回撤，作为风险调整比率（Sharpe、Sortino、Information Ratio、Calmar）的分母。
• forward-risk（wealth-management 插件）：历史 VaR 和历史波动率可作为前瞻性 VaR 模型和压力测试的输入。
• volatility-modeling（wealth-management 插件）：EWMA 和 GARCH 模型将此处介绍的简单历史波动率估算方法扩展为预测框架。
• retirement-decumulation（wealth-management 插件）：回撤和波动率历史会影响提款阶段投资组合的收益顺序风险。

运行脚本

使用 uv run scripts/historical_risk.py 运行（PEP 723 标头会自动解析 numpy），也可以先执行 pip install numpy scipy，再使用 python3 scripts/historical_risk.py 运行。直接运行会基于注入了回撤事件的带种子合成数据，输出完整的风险分析（年化波动率和 Parkinson 波动率、最大回撤及其发生时间、95%/99% 历史 VaR、下行偏差、半方差、跟踪误差、滚动波动率）。使用 --verify 可断言输出与本技能中的示例计算及演示的预期值一致（通过时退出代码为 0），使用 --help 可查看类的概览。此文件主要用于作为模块导入（例如，from historical_risk import HistoricalRiskAnalyzer）。