matlab-solve-optimization

MATLAB 优化工作流

指导完整的优化生命周期：对问题进行分类、建立问题模型、选择并配置求解器，以及验证结果。

适用场景

• 用户正在 MATLAB 中定义优化问题（变量、目标、约束）
• 用户询问 optimproblem、optimvar、optimconstr、optimexpr 或 fcn2optimexpr
• 用户正在选择或配置求解器（optimoptions、算法选择、调优）
• 用户正在解读结果、调试收敛问题或检查 exitflags
• 用户正在选择基于问题的方法还是基于求解器的方法
• 用户正在编写包含决策变量或约束 for 循环的优化代码

不适用场景

• 用户要解决的问题不需要数值优化求解器（例如，在数组或表中查找最小值）
• 用户正在处理非优化类 MATLAB 代码（数据分析、绘图、信号处理）
• 用户使用第三方优化工具箱（非 MathWorks）
• 用户正在用 solve(eqns, vars) 求解符号方程、ODE 系统或线性方程组（A\b）

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阶段 1：分类并建立问题模型

1.1 对问题进行分类

在建立问题模型之前，先确定问题类别——它决定了要使用的求解器、能提供何种保证（全局还是局部），以及是否应使用特定领域工具替代通用流程。

请参阅 references/classify.md，其中包含类别→求解器→保证对照表、凸性快速检查，以及“隐藏的更简单类别”启发式方法。关键操作：

• 在退回使用 optimproblem 之前，检查是否存在专用领域工具
• 留意隐藏的更简单类别（伪装成 NLP 的平方和问题、被忽略的线性结构）
• 对于 QP，检查 eig(H)——非凸 QP 无法可靠地使用 quadprog
• 留意隐藏的非光滑性：max、min、abs、sort、if/分支，或平方 2 范数以外的范数

1.2 选择方法

默认使用基于问题的方法，适用于定义清晰易读、N-D 建模，以及所有 LP、QP、锥规划和混合整数问题（除非系数已经是矩阵-向量形式）。基于问题的方法提供自动微分，且更不容易出错。

即使自动微分受阻（例如，目标函数中使用了 ode45），fcn2optimexpr 仍可将函数封装为黑盒——基于问题的方法依然有用。

只有在以下情况之一成立时，才改用基于求解器的方法：

适合使用基于求解器的方法的情况……	原因
可直接映射到求解器 API——只有一个向量 x，且目标函数已编码并提供精确梯度/海森矩阵	抽象没有带来好处；基于求解器的方法更直接
构建基于问题的表达式所产生的开销超过计算本身	避免跟踪/转换开销
需要基于问题的方法未提供的求解器功能（CheckpointFile、精确海森矩阵、自定义 OutputFcn）	只能通过基于求解器的调用使用
嵌入式部署需要生成 C 代码	基于问题的方法不支持代码生成

方法之间的转换： prob2struct(prob) 可将基于问题的形式转换为基于求解器的形式，用于部署或提升性能。

参考资料：

• 基于问题的方法：references/problem-based-guide.md
• 基于求解器的方法（类别→求解器映射）：references/classify.md

1.3 建立问题模型

基于问题的方法标准模板：

% 1. Define decision variables
x = optimvar("x", N, LowerBound=lb, UpperBound=ub);

% 2. Create problem
prob = optimproblem("Objective", sum(x,"all"));

% 3. Add constraints
prob.Constraints.linear = A*x <= b;
prob.Constraints.nonlinear = fcn2optimexpr(@myNonlinFcn, x) <= rhs;

% 4. Set initial guess (must be struct with field names matching optimvar names)
x0.x = initialValues;

% 5. Solve
[sol, fval, exitflag, output] = solve(prob, x0);

基于求解器的方法的主要区别：

• 初始猜测是数值向量，而不是结构体
• 需要手动管理变量索引（扁平向量 x）
• 为获得最佳性能，需手动提供梯度（SpecifyObjectiveGradient=true）
• 线性/二次求解器要求提供显式系数矩阵

1.4 在起始点进行验证

调用任何求解器之前，先在 x0 处计算目标函数和约束，以便尽早发现符号、大小或 NaN 错误：

% Problem-based
fval0 = evaluate(prob.Objective, x0);
assert(isfinite(fval0), 'Objective is not finite at x0');
infeas0 = infeasibility(prob.Constraints, x0);
fprintf('Max infeasibility at x0: %.3e\n', max(infeas0));

对于基于求解器的情形，直接调用 fun(x0) 和 nonlcon(x0)，并确认输出有限且尺寸正确。如果提供了梯度，此时运行 checkGradients。

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阶段 2：选择并配置求解器

2.1 选择最适合问题的求解器

选择与问题结构相匹配且适用范围最窄的求解器。 如果有更具体的求解器适用，不要默认使用 fmincon 或启发式全局求解器。

主要选择规则：

• 始终优先选择：linprog > quadprog > coneprog > lsqlin > lsqnonlin > fmincon > 全局求解器
• 安装了 Optimization Toolbox 时，始终优先使用 fminunc 而不是 fminsearch
• 对于最小二乘问题，始终优先使用 lsqnonlin/lsqcurvefit 而不是 fmincon
• 对于带边界或线性约束的线性最小二乘问题，始终优先使用 lsqlin 而不是 lsqnonlin
• 当梯度不可用或不可靠，且问题的计算成本并非极高时，使用 patternsearch
• 当每次求值耗时超过 15–20 秒时，使用 surrogateopt
• 对于近似线性的 MIP，应进行线性化并使用 intlinprog，而不是调用 Global Optimization 求解器
• 对于机组组合／二进制运行模式，使用 intlinprog 保留混合整数形式

完整的类别→求解器表请参阅 references/classify.md。

2.2 验证选项——切勿猜测

使用求解器选项前，务必验证其是否有效。 选项会随 MATLAB 版本而变化，臆造选项会导致运行时错误。

% Verify options for a solver
opts = optimoptions('solvername')

编写选项代码前，运行 optimoptions('solvername')，查看用户已安装版本支持的所有有效选项。

2.3 验证梯度（如果已提供）

如果提供了解析梯度（SpecifyObjectiveGradient=true），请在求解前验证：

[valid, err] = checkGradients(@myObjective, x0, Display="on");

对于约束梯度：checkGradients(@myConstraints, x0, IsConstraint=true)。

2.4 并行化（如果计算成本高）

如果求解器支持 UseParallel，且 Parallel Computing Toolbox 可用：

ver('parallel')  % Check for PCT
options = optimoptions('solvername', UseParallel=true);

支持 UseParallel 的求解器：fmincon、fminunc、lsqnonlin、lsqcurvefit、patternsearch、surrogateopt、ga、particleswarm、paretosearch、gamultiobj。

对于以下求解器，不要建议使用 UseParallel：quadprog、intlinprog、fminsearch、linprog、lsqlin。

2.5 性能（正确性得到确认后）

如果求解结果正确但速度太慢，请参阅 references/performance-levers.md。主要优化手段：解析梯度、稀疏模式、热启动、代码生成。仅在阶段 3 确认正确性后再应用——任何性能变更后都要重新验证。

参考： references/solver-tuning.md，了解各求解器的算法和调优指南。

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阶段 3：验证结果

3.1 基本验证（始终包含）

每次编写调用求解器的代码时，都要添加基本输出验证：

[sol, fval, exitflag, output] = solve(prob, x0);

% Check convergence
if exitflag > 0
    fprintf('Optimization converged: %s\n', output.message);
else
    warning('Optimization did not converge (exitflag = %d): %s\n', exitflag, output.message);
end

% Report key metrics
fprintf('Objective value: %.6f\n', fval);
fprintf('Iterations: %d\n', output.iterations);
if isfield(output, 'constrviolation')
    fprintf('Constraint violation: %d\n', output.constrviolation);
end

各求解器的 exitflag 含义详见 references/validation-checklist.md。

3.2 扩展验证

约束违反情况（基于问题的形式）：

[allsat, sat] = issatisfied(prob, sol);
if ~allsat
    conNames = fieldnames(prob.Constraints);
    for i = 1:numel(conNames)
        infeas = infeasibility(prob.Constraints.(conNames{i}), sol);
        if any(infeas > 0)
            fprintf('Constraint "%s" violated by %.3e\n', conNames{i}, max(infeas));
        end
    end
end

最优性条件（仅适用于基于梯度的求解器——patternsearch、ga、particleswarm、surrogateopt 除外）：

if isfield(output, 'firstorderopt')
    fprintf('First-order optimality: %.6e\n', output.firstorderopt);
    if output.firstorderopt > 1e-3
        warning('First-order optimality measure is large — solution may not be optimal.\n');
    end
end

3.3 调试失败或效果不佳的求解

当 exitflag <= 0 或收敛效果不佳时，请按照 references/improving-results.md 中的结果改进清单进行检查：

1. 检查问题构造 — 约束是否可行？边界是否一致？目标函数在 x0 处是否定义良好？
2. 检查缩放 — 将变量缩放到 O(1)；如果目标函数与约束的量级相差悬殊，请重新缩放；如果有限差分梯度不准确，请使用 FiniteDifferenceType='central'
3. 尝试不同的算法 — 调整 options.Algorithm，增大 MaxIterations/MaxFunctionEvaluations，调整容差，为启发式求解器设置 HybridFcn
4. 尝试不同的初始点 — 使用 MultiStart、GlobalSearch 或 surrogateopt/ga 进行全局优化

调试原则：

• 从最小规模开始。 将问题缩减到 2-3 个变量。在小型示例问题中查找错误只需几分钟，而在完整规模的问题中则可能要花费几小时。
• 一次只做一项更改，并确保更改有症状作为依据。
• 设定停止并询问的界限。 出现以下情况时，停止编码并与用户沟通：超过 3 轮仍无改善；调整选项超过 2 次但诊断结果没有变化；或者即使在小型示例问题中也无法在 x0 处获得有限的目标函数值。

3.4 特定应用的可视化

问题领域	建议绘图
最优控制 / 导航	状态随时间变化的轨迹、控制输入曲线、相图
调度 / 分配	甘特图、资源随时间的利用率
设计优化	标出最优点的等高线图、灵敏度图
参数估计 / 拟合	残差图、拟合曲面与数据的对比
投资组合 / 配置	配置柱状图、有效前沿图

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常见问题

问题构造

1. 初始猜测必须是一个结构体，其字段名称必须与 optimvar 名称完全一致。不能是扁平向量。
2. 对基于问题的建模，不要在选项中设置 SpecifyObjectiveGradient 或 SpecifyConstraintGradient — 自动微分会在内部处理梯度。
3. 对于多维问题，请使用 N-D optimvar。 不要在循环中创建标量变量。
4. 使用 optimconstr(N) 预分配约束数组。 不要在循环中进行拼接。
5. 每个函数只调用一次 fcn2optimexpr，不要在循环中调用。 请参阅 references/fcn2optimexpr-guide.md。
6. 在经过追踪的函数内部进行预分配时使用 "like"，以保留 AD 类型：zeros(n,1,"like",x)。

求解器配置

7. 切勿凭记忆猜测选项名称。 始终使用 optimoptions('solvername') 进行验证。
8. 对于 patternsearch，不要将 MeshTolerance 调得过严。
9. 对于 intlinprog，若要提前停止，不要将 AbsoluteGapTolerance/RelativeGapTolerance 设得过高 — 应使用时间/节点限制。
10. 确保容差远高于机器精度。 除非有特殊要求，否则使用 1e-6 到 1e-8 的范围。

验证

11. 无约束求解器不存在 output.constrviolation。 始终使用 isfield 检查。
12. 对于无导数求解器，不要检查 output.firstorderopt。应改为检查求解器专属指标（output.meshsize、output.stallgenerations）。
13. infeasibility() 用于单个约束，而非整个问题。 使用 issatisfied(prob, sol) 进行整体检查。
14. 对于 fmincon，若 exitflag <= 0，请检查 output.bestfeasible。 将其用作新一轮求解的初始点。

约定

• 除非存在特定阻碍，否则默认采用基于问题的方法。
• 可以进行向量化时，始终优先使用向量化，而不是循环。
• 使用 fcn2optimexpr 封装复杂逻辑时，应将其封装在单个辅助函数中，而不是在循环内调用。
• 始终展示初始猜测值的设置。
• 依赖用户提供的函数时，将代码块标记为模板。
• 建议调整选项时，说明其中的权衡（速度与精度）。
• 不要过度调优：对于简单或规模较小的问题，默认设置通常已足够。
• 编写调用求解器的代码时，始终加入基本验证（检查 exitflag）。
• 调试时，应先检查问题的建模和缩放，再更改算法。

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