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对称群标识

了解你的对称群，有助于确定应使用哪些等变架构模式。本技能将已识别的变换形式化为群论语言。

工作流

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Group Identification Progress:
- [ ] Step 1: List symmetries from discovery phase
- [ ] Step 2: Classify each as discrete or continuous
- [ ] Step 3: Match to specific groups using taxonomy
- [ ] Step 4: Determine how groups combine
- [ ] Step 5: Verify group properties
- [ ] Step 6: Document final group specification

步骤 1：列出发现阶段识别出的对称性

汇总发现阶段识别出的对称性。列出每种已识别的变换，以及它要求不变性还是等变性。注明置信度。如果尚未发现对称性，先与用户合作，通过领域分析识别对称性。

步骤 2：将每种对称性分类为离散或连续

对于每种对称性，确定：变换集合是有限的（离散）还是无限的（连续）？离散示例：90° 旋转（4 个元素）、n 个项目的排列（n! 个元素）。连续示例：任意角度的旋转、任意距离的平移。使用群分类指导分类。有关数学基础，请参阅群论入门。

步骤 3：根据分类体系匹配具体群

使用离散群和连续群（李群）参考章节。为每种对称性确定具体的群名称和符号。常见对应关系：n 重旋转 → Cₙ，旋转+反射 → Dₙ，排列 → Sₙ，3D 旋转 → SO(3)，刚体运动 → SE(3)，完整欧几里得群 → E(3)。有关 SO(3)、SE(3)、E(3) 的详细李群信息，请参阅李群参考。

步骤 4：确定群如何组合

如果存在多种对称性，确定它们如何组合。直积（G × H）：对称性彼此独立地作用。半直积（G ⋊ H）：一种对称性会“扭转”另一种对称性（例如，SE(3) = SO(3) ⋊ ℝ³）。请参阅群的组合。

步骤 5：验证群的性质

检查已识别的结构是否满足群公理：封闭性、结合律、单位元、逆元。验证重要性质：它是紧致的吗？（会影响表示论。）它是阿贝尔群吗？（是否满足交换律。）它是连通的吗？（会影响实现。）请使用群性质检查清单。有关详细的验证方法，请参阅方法。

步骤 6：记录最终群规范

使用输出模板创建规范。包括：群名称/符号、维度/大小、关键性质、不变性与等变性要求，以及推荐的架构系列。此规范为架构设计奠定基础。此输出的质量标准见质量评分标准。

群分类

概览图

                    SYMMETRY GROUPS
                          │
          ┌───────────────┴───────────────┐
          │                               │
     DISCRETE                        CONTINUOUS
          │                          (Lie Groups)
          │                               │
    ┌─────┼─────┐               ┌────────┼────────┐
    │     │     │               │        │        │
  Cyclic Dihedral Symmetric   SO(n)   SE(n)    E(n)
   Cₙ     Dₙ      Sₙ         rotations rigid   Euclidean
                              only    motions  (w/ reflect)

快速参考表

对称类型	群	符号	元素数	常见用途
n 重旋转	循环群	Cₙ	n	图像旋转（90°、60°）
旋转+反射	二面体群	Dₙ	2n	正多边形
排列	对称群	Sₙ	n!	集合、图
2D 旋转（连续）	特殊正交群	SO(2)	∞	连续旋转
3D 旋转	特殊正交群	SO(3)	∞	3D 定向
3D 刚体运动	特殊欧几里得群	SE(3)	∞	机器人学、分子
带反射的 3D 变换	欧几里得群	E(3)	∞	化学、物理学

离散群

循环群（Cₙ）

表示内容：以 360°/n 的整数倍旋转

元素：{e, r, r², ..., rⁿ⁻¹}，其中 rⁿ = e（单位元）

群	旋转	示例
C₂	0°、180°	扑克牌
C₄	0°、90°、180°、270°	正方形图像
C₆	每次旋转 60°	六边形图案

适用场景：存在旋转对称性，但不存在反射对称性。

二面体群（Dₙ）

表示内容：正 n 边形的旋转与反射

元素：n 个旋转 + n 个反射 = 共 2n 个

群	元素	示例
D₄	8	带对角线的正方形（p4m 群）
D₆	12	正六边形

适用场景：同时存在旋转和反射对称性。

对称群（Sₙ）

表示内容：n 个元素的所有排列

元素：n! 个排列

适用场景：元素顺序任意（集合、图、点云）。

连续群（李群）

SO(2) - 2D 旋转

元素：任意角度 θ ∈ [0, 2π) 的旋转

矩阵形式：R(θ) = [[cos θ, -sin θ], [sin θ, cos θ]]

适用场景：2D 中的连续旋转对称性。

SO(3) - 3D 旋转

元素：3D 中的所有旋转（3 个自由度）

表示形式：旋转矩阵、四元数、欧拉角、轴角表示

适用场景：3D 朝向无关紧要，但手性很重要。

SE(3) - 3D 刚体运动

元素：3D 中的旋转 + 平移

结构：SE(3) = SO(3) ⋊ ℝ³（半直积）

适用场景：对象可以位于任意位置和朝向，手性很重要。

E(3) - 完整欧几里得群

元素：SE(3) + 反射

结构：E(3) = O(3) ⋊ ℝ³

适用场景：SE(3) 对称性加上反射对称性（大多数分子）。

群层次结构

E(3) = O(3) ⋊ ℝ³
    │ exclude reflections
    ▼
SE(3) = SO(3) ⋊ ℝ³
    │ exclude translations
    ▼
SO(3)
    │ 2D restriction
    ▼
SO(2)

组合群

直积（G × H）

适用场景：对称性相互独立（彼此不影响）。

示例：具有独立平移和颜色置换的图像 → SE(2) × S₃

性质：(g₁, h₁) · (g₂, h₂) = (g₁g₂, h₁h₂)

半直积（G ⋊ H）

适用场景：一种对称性会“扭转”另一种对称性（不满足交换律）。

示例：SE(3) = SO(3) ⋊ ℝ³（先旋转再平移 ≠ 先平移再旋转）

常见情况：SE(n) = SO(n) ⋊ ℝⁿ、E(n) = O(n) ⋊ ℝⁿ、Dₙ = Cₙ ⋊ C₂

群性质检查清单

对于你识别出的群，请验证：

性质	问题	重要性
紧致	群是否“有界”？	影响表示论
阿贝尔	运算顺序是否重要？（g₁g₂ = g₂g₁？）	简化架构
连通	群是否连成一体？	影响不可约表示
有限	元素数量是否有限？	决定采用离散还是连续架构

按领域选择群

领域	典型群	备注
2D 图像分类	C₄ 或 D₄	p4 或 p4m 群
3D 分子能量	E(3) × Sₙ	完整欧几里得群 + 原子置换
3D 分子手性	SE(3) × Sₙ	无反射
点云分类	SO(3) × Sₙ	旋转 + 置换
图分类	Sₙ	置换不变
机器人学	SE(3)	有时带有重力约束

输出模板

SYMMETRY GROUP SPECIFICATION
============================

Identified Symmetries:
1. [Symmetry] → Group: [name] ([notation])
2. [Symmetry] → Group: [name] ([notation])

Combined Group Structure:
- Full group: [G₁ × G₂] or [G₁ ⋊ G₂]
- Size: [# elements] or [continuous]

Group Properties:
- Compact: [Yes/No]
- Abelian: [Yes/No]
- Connected: [Yes/No]

Symmetry Requirements:
- [Group]: [Invariant/Equivariant] for [task type]

Recommended Architecture Family:
- [Architecture] supporting [group]

NEXT STEPS:
- Empirically validate symmetry hypotheses if not yet confirmed
- Design equivariant architecture based on group specification