volatility-modeling

波动率建模

核心概念

EWMA（指数加权移动平均）

一种简单的波动率模型，对近期观测值赋予更高权重。RiskMetrics 推广了这一方法，并采用了标准衰减因子。

sigma^2_t = lambda * sigma^2_{t-1} + (1 - lambda) * r^2_{t-1}

其中：

• lambda = 衰减因子（RiskMetrics 标准值：日频为 0.94，月频为 0.97）
• r_{t-1} = t-1 期的收益率（通常会去均值，但对于日收益率，均值通常假定为零）
• sigma^2_{t-1} = 上一期的方差估计值

特性：

• 对过去的收益率平方赋予指数递减的权重。
• 有效窗口约为 1/(1 - lambda) 个观测值。lambda = 0.94 时，有效窗口约为 17 天。
• 不存在均值回归：该模型等价于 alpha + beta = 1 的 IGARCH（积分 GARCH）。波动率冲击会无限期持续。
• 实现简单，只需要一个参数。

GARCH(1,1)

广义自回归条件异方差模型通过加入常数项，使波动率产生均值回归。

sigma^2_t = omega + alpha * r^2_{t-1} + beta * sigma^2_{t-1}

其中：

• omega > 0：常数项（决定长期方差水平）
• alpha >= 0：反应系数（对近期冲击的敏感度）
• beta >= 0：持续性系数（对过去方差的记忆程度）

平稳性条件： alpha + beta < 1。这确保该过程协方差平稳且会均值回归。

长期（无条件）方差：

V_L = omega / (1 - alpha - beta)

长期年化波动率：sigma_L = sqrt(V_L * 252)。

持续性： alpha + beta 衡量波动率回归至长期水平的速度。持续性越高，均值回归越慢。

波动率冲击的半衰期： 波动率冲击衰减一半所需的期数：

h = -ln(2) / ln(alpha + beta)

由于 alpha + beta < 1，因此 ln(alpha + beta) < 0，且 h 为正数。

多步预测： GARCH(1,1) 的 h 步前预测：

E[sigma^2_{t+h}] = V_L + (alpha + beta)^h * (sigma^2_t - V_L)

当 h 趋近无穷大时，预测值会收敛至 V_L。

隐含波动率

将波动率值代入期权定价模型（通常是 Black-Scholes）后，得出的理论价格等于观察到的市场价格。

对于 Black-Scholes 模型下的欧式看涨期权：

C = S * N(d1) - K * exp(-rT) * N(d2)

d1 = [ln(S/K) + (r + sigma^2/2) * T] / (sigma * sqrt(T))
d2 = d1 - sigma * sqrt(T)

隐含波动率是满足 C_model(sigma) = C_market 的 sigma。该方程没有闭式解，必须通过数值方法（例如 Newton-Raphson、二分法）求解。

波动率微笑与偏斜

在实践中，隐含波动率会随行权价变化，这与 Black-Scholes 的恒定波动率假设相矛盾。

• 波动率微笑： 深度实值期权和深度虚值期权的 IV 都较高，呈 U 形。这种情况在外汇市场较为常见。
• 波动率偏斜（smirk）： 行权价越低，IV 越高（虚值看跌期权的 IV 高于虚值看涨期权）。这是股票市场的主导模式，反映了市场对下行保护的需求，以及左尾较厚这一现实。
• 偏斜通常通过以下方式量化： 25-delta 看跌期权与 25-delta 看涨期权之间的 IV 差异，或 90% 价内程度与 110% 价内程度行权价之间的差异。

波动率期限结构

隐含波动率会随期权到期日变化。

• 正常（向上倾斜）： 到期日较远的期权具有更高的 IV，反映了不确定性会随时间推移而增加。
• 倒挂（向下倾斜）： 近期 IV 高于长期 IV。在市场承压时较为常见，此时短期不确定性会激增（例如财报、选举或危机期间）。
• 驼峰形： IV 在某个中间期限达到峰值。特定事件预期发生前可能出现这种情况。

波动率曲面

由行权价（或 delta/价内程度）和到期时间共同决定的二维隐含波动率曲面。波动率曲面是最完整地呈现期权市场对未来不确定性看法的方式。

从业者会对曲面进行插值，为任意行权价和到期时间组合的期权定价。曲面动态（曲面如何移动、倾斜和弯曲）对期权投资组合风险管理至关重要。

已实现波动率与隐含波动率：波动率风险溢价

平均而言，隐含波动率系统性地高于之后的已实现波动率。这一差值就是波动率风险溢价（VRP）。

VRP = IV - RV_subsequent

VRP 的存在是因为投资者愿意为期权（保险）支付溢价，而期权卖方则要求获得承担尾部风险的补偿。VRP 通常为正，并且一直是波动率卖方持续的收益来源。

关键考量：

• VRP 会随时间变化，在市场承压时期更高。
• 卖出波动率（获取 VRP）可以赚取稳定溢价，但也面临大额、低频的亏损。
• 极端事件发生时，VRP 可能转为负值。

VIX 指数

CBOE 波动率指数衡量市场对未来 30 天波动率的预期，该指数根据 S&P 500 期权价格计算得出。

• VIX 以年化百分点报价（例如，VIX = 20 表示预期年化波动率约为 20%）。
• VIX 根据大量虚值看跌期权和看涨期权计算得出，而非使用 Black-Scholes 模型。
• VIX 水平：12-15 = 低／市场情绪平稳，15-20 = 正常，20-30 = 偏高，30+ = 市场承压严重，40+ = 危机。
• VIX 具有很强的均值回归特性，并且往往在市场抛售期间飙升（“恐惧指数”）。

关键公式

公式	表达式	用途
EWMA 方差	sigma^2_t = lambda * sigma^2_{t-1} + (1-lambda) * r^2_{t-1}	简单的波动率预测
GARCH(1,1) 方差	sigma^2_t = omega + alpha * r^2_{t-1} + beta * sigma^2_{t-1}	均值回归型波动率预测
GARCH 长期方差	V_L = omega / (1 - alpha - beta)	无条件方差水平
GARCH 半衰期	h = -ln(2) / ln(alpha + beta)	均值回归速度
GARCH h 步预测	V_L + (alpha+beta)^h * (sigma^2_t - V_L)	多期波动率预测
Black-Scholes 看涨期权	S * N(d1) - K * exp(-rT) * N(d2)	期权定价（提取 IV）
波动率风险溢价	IV - RV_subsequent	波动率卖方获得的溢价
EWMA 有效窗口	约 1 / (1 - lambda)	隐含回看周期

示例演算

示例 1：EWMA 方差更新

已知： 昨日的方差估计 sigma^2_{t-1} = 0.0004（日波动率 = 2%），昨日的收益率 r_{t-1} = -3%（即 r = -0.03），且 lambda = 0.94。

计算： 今日的 EWMA 方差估计和日波动率。

解答：

sigma^2_t = 0.94 * 0.0004 + (1 - 0.94) * (-0.03)^2
          = 0.94 * 0.0004 + 0.06 * 0.0009
          = 0.000376 + 0.000054
          = 0.000430

日波动率：

sigma_t = sqrt(0.000430) = 0.02074 = 2.074%

大幅负收益率（-3%）使波动率估计从 2.0% 升至 2.074%。EWMA 对这一冲击作出了响应，但较高的 lambda（0.94）减弱了反应幅度。

示例 2：GARCH(1,1) 长期波动率与半衰期

已知： 根据 S&P 500 日收益率估计得出的 GARCH(1,1) 参数：omega = 0.000002，alpha = 0.08，beta = 0.91。

计算： 长期日方差、长期年化波动率，以及波动率冲击的半衰期。

解答：

平稳性检查： alpha + beta = 0.08 + 0.91 = 0.99 < 1（平稳，但持续性很强）。

长期方差：

V_L = 0.000002 / (1 - 0.99) = 0.000002 / 0.01 = 0.0002

长期日波动率：

sigma_L = sqrt(0.0002) = 0.01414 = 1.414%

年化：

sigma_annual = 0.01414 * sqrt(252) = 22.45%

半衰期：

h = -ln(2) / ln(0.99) = -0.6931 / (-0.01005) = 68.97 ~ 69 trading days

解读：波动率受到冲击后，超额波动率约需 69 个交易日（约 3 个月）才会衰减一半。这种高度持续性（alpha + beta = 0.99）是股票指数收益率的典型特征。

示例 3：隐含波动率解读

**已知：**某只股票的交易价格为 $100。一份 3 个月期平值看涨期权（K = $100）的交易价格为 $6.50。无风险利率为 5%。使用 Black-Scholes 模型，通过数值求解器得出隐含波动率为 30%。

**计算：**这说明了什么？与 22% 的已实现波动率相比如何？

解答：

30% 的隐含波动率代表市场对未来 3 个月年化波动率的一致预期，该预期已反映在期权价格中。

与 22% 的已实现（历史）波动率相比：

VRP = IV - RV = 30% - 22% = 8%

8 个百分点的正差值就是波动率风险溢价。可能的解读：

• 市场预期波动率将高于近期的已实现水平。
• 期权卖方要求获得溢价，以承担尾部风险。
• 近期可能会有某个事件（财报、监管决定）引发波动率飙升。

系统性卖出波动率的策略会卖出这份期权，预期在已实现波动率保持在 22% 左右时，从波动率风险溢价中获利。不过，如果已实现波动率超过 30%，卖方就会承担相应风险。

常见陷阱

• **GARCH 平稳性：**对于 GARCH(1,1) 过程，要满足协方差平稳性，alpha + beta 必须严格小于 1。如果 alpha + beta >= 1，长期方差未定义，模型属于 IGARCH（或为爆炸性模型）。参数估计后务必检查这一条件。
• **EWMA 没有均值回归：**EWMA 等价于 IGARCH（alpha + beta = 1），因此波动率冲击永远不会衰减。这使 EWMA 不适合预期存在均值回归的长期波动率预测。
• **隐含波动率依赖模型：**使用 Black-Scholes 提取的 IV 假设收益服从对数正态分布、波动率恒定、交易连续且不存在跳跃。之所以存在“微笑”和“偏斜”，恰恰是因为这些假设不成立。IV 是一种报价惯例，并非真正的预测值。
• **混淆历史波动率与前瞻波动率：**历史（已实现）波动率衡量已经发生的情况。隐含波动率反映市场对未来的预期。二者回答的是不同问题，也可能存在显著差异。
• **未调整期限结构就使用日频 GARCH 进行长期预测：**日频 GARCH 预测在长期期限上会收敛到无条件方差。使用多步预测公式 E[sigma^2_{t+h}] = V_L + (alpha+beta)^h * (sigma^2_t - V_L)，并进行适当汇总。
• **GARCH 模型过拟合：**高阶 GARCH(p,q) 模型或扩展模型（EGARCH、TGARCH、GJR-GARCH）可能会对样本内数据过拟合。对于大多数金融收益率序列，GARCH(1,1) 在样本外表现上很难被超越。请从 GARCH(1,1) 开始，并说明增加复杂度的理由。
• **选择 EWMA 的 lambda：**lambda 的选择会显著影响模型的响应速度。lambda = 0.94 对冲击响应较快（有效窗口约为 17 天）；lambda = 0.97 更平滑（有效窗口约为 33 天）。应根据应用场景的期限进行选择。

交叉引用

• historical-risk（财富管理插件）：收盘到收盘、Parkinson 和 Yang-Zhang 波动率估算方法提供已实现波动率基准，用于与 GARCH 预测和隐含波动率进行比较。
• forward-risk（财富管理插件）：EWMA 和 GARCH 的波动率预测可直接用于参数法和蒙特卡洛 VaR 计算。
• performance-metrics（财富管理插件）：波动率估算会影响 Sharpe、Sortino 等风险调整后比率的分母。使用前瞻性（GARCH）波动率可以得到条件绩效比率。

运行脚本

uv run scripts/volatility_modeling.py

PEP 723 标头会自动解析 numpy 和 scipy 依赖项。也可以在运行 pip install numpy scipy 后执行 python3 scripts/volatility_modeling.py。

• 直接运行会打印基于合成 GARCH 动态收益率的演示：EWMA 波动率、GARCH(1,1) 估计和多步预测、已实现波动率和 Parkinson 波动率、期限结构以及波动率锥。
• --verify 会重新运行关键计算，并断言输出与此技能中的示例一致（打印 PASS/FAIL；不匹配时以非零状态码退出）。
• --help 会列出可用的类和方法。

此文件主要用于作为模块导入，例如 from volatility_modeling import VolatilityModeling。